Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La desigualdad entre las medias geométrica y cuadrática nos dice que \[\sqrt[4]{|abcd|}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}=\sqrt{3},\] de donde $abcd\leq |abcd|\leq 9$ (observemos que hay que poner valor absoluto porque esta desigualdad sólo es cierta para números no negativos). Ahora bien, para que se dé la igualdad, tiene que ser $|a|=|b|=|c|=|d|=\sqrt{3}$ y la condición $a+b+c+d=0$ nos dice que exactamente dos de los números tienen que ser positivos y dos negativos. Por ejemplo, podemos poner $a=b=\sqrt{3}$ y $c=d=-\sqrt{3}$, lo que confirma que el valor máximo de $abcd$ es efectivamente $9$ y sabemos exactamente cuándo se da la igualdad.

En cuanto al mínimo,

Solución. Observemos que \begin{align*} \frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a}&=\frac{a^3-a^2 b c-a b^2 c^2+b^3 c^3}{a b^3 c}\\ &=\frac{c^2}{a}\cdot\left(\frac{a^3}{b^3c^3}-\frac{a^2}{b^2c^2}-\frac{a}{bc}+1\right). \end{align*} Obtenemos así el polinomio $x^3-x^2-x+1$ tras el cambio $x=\frac{a}{bc}$. Este polinomio se puede factorizar como $(x-1)^2(x+1)$, luego podemos proseguir factorizando como \begin{align*} \frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a} &=\frac{c^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{bc}-1\right)^2\left(\frac{a}{bc}+1\right)\geq 0. \end{align*} La igualdad se da cuando el factor $\frac{a}{bc}-1$ se anula (ya que el resto de factores son estrictamente positivos), es decir, cuando $a=bc$.

Solución. En primer lugar, vamos a determinar cuál es el lado mayor. Por un lado, \[x^4+x^3+2x^2+x+1\gt x^4+1\gt x^4-1,\] ya que $x$ es positivo. Usando que $x\gt 1$, tenemos que $x^4\geq x^3$ y $x^2\gt x$, luego \[x^4+x^3+2x^2+x+1\gt x^3+x^3+x^2+x+x+1=2x^3+x^2+2x+1.\] Sabiendo entonces que el primer lado es el mayor, tendremos que ver cuándo no supera a la suma de los otros dos, es decir, la respuesta al enunciado serán los números $x\gt 1$ tales que \[x^4+x^3+2x^2+x+1\lt (2x^3+x^2+2x+1)+(x^4-1).\] Tras simplificar y factorizar, nos queda $-x^3+x^2-x+1\lt 0$ y podemos factorizar el miembro de la izquierda para llegar a la desgualdad $(x^2+1)(1-x)\lt 0$, desigualdad que no se cumple para todo $x\gt 1$. Por tanto, para todo $x\gt 1$ hay un triángulo cuyos lados tienen las longitudes del enunciado.