Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Transformamos el primer denominador usando la desigualdad de reordenación primero y después la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática, obteniendo \[(by+cz)(bz+cy)\leq(by+cz)^2\leq 2(b^2y^2+c^2z^2).\] Observemos que aquí es importante que $b\geq c$ e $y\geq z$. De la misma forma, podemos acotar los otros dos denominadores como \begin{eqnarray*} (cz+ax)(cx+az)&\leq&2(a^2x^2+c^2z^2),\\ (ax+by)(ay+bx)&\leq&2(a^2x^2+b^2y^2). \end{eqnarray*} Si llamamos $E$ al miembro de la izquierda de la desigualdad del enunciado, las desigualdades que hemos probado nos aseguran que \[E\geq\frac{1}{2}\left(\frac{a^2x^2}{b^2y^2+c^2z^2}+\frac{b^2y^2}{a^2x^2+c^2z^2}+\frac{c^2z^2}{a^2x^2+b^2y^2}\right),\] pero el término entre paréntesis es mayor o igual que $\frac{3}{2}$ por la desigualdad de Nesbitt y hemos terminado. Para analizar la igualdad, si esta se alcanza la desigualdad de Nesbitt o la desigualdad entre las medias que hemos usado nos aseguran que $ax=by=cz$. Como los términos están ordenados, para que se den estas igualdades ha de ser $a=b=c$ y $x=y=z$ (esto último también puede deducirse de la desigualdad de reordenación). De aquí es fácil ver que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c$ y $x=y=z$.

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica (o simplemente desarrollar $(1-a)^2\geq 0$) nos asegura que $1+a^2\geq 2a$ y, análogamente, $1+b^2\geq 2b$ y $1+c^2\geq 2c$, lo que nos permite escribir $$a^2(1+b^2)^2+b^2(1+c^2)^2+c^2(1+a^2)^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)$$ Usando finalmente la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, así como el hecho de que $abc=1$, llegamos a que \[a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\geq 3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}=3.\] Combinando las dos igualdades anteriores se llega al resultado buscado. Observemos que para que se dé la igualdad, ha de cumplirse que $(1-a)^2=0$, $(1-b)^2=0$ y $(1-c)^2=0$, de donde vemos fácilmente que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c=1$.

Solución. Tomando logaritmos neperianos y usando las propiedades de los logaritmos, la desigualdad del enunciado es equivalente a la siguiente: $$(b+c)\ln(a)+(a+c)\ln(b)+(a+b)\ln(c)\geq 2a\ln(a)+2b\ln(b)+2c\ln(c).$$ Esta desigualdad involucra tanto a los números como a sus logaritmos, pero están bien separados como sumas de productos, lo que nos incita a intentar usar la desigualdad de reordenación. Concretamente, si suponemos sin perder generalidad que $0\lt a\leq b\leq c$, tendremos que $\ln(a)\leq\ln(b)\leq\ln(c)$ ya que el logaritmo es una función creciente. Así, la desigualdad de reordenación nos dice que \begin{eqnarray*} b\ln(a)+c\ln(b)+a\ln(c)&\geq& a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c)\\ c\ln(a)+a\ln(b)+b\ln(c)&\geq& a\ln(a)+b\ln(b)+c\ln(c) \end{eqnarray*} Sumando estas dos desigualdades obtenemos la del enunciado.

Solución. Consideremos la función $f(x)=\frac{x}{1+x}$, definida para todo $x\gt-1$. Es fácil comprobar que su segunda derivada satisface $$f''(x)=\frac{-2}{(x+1)^3}<0\quad\text{para todo }x\gt -1,$$ lo que nos dice que $f$ es cóncava en este intervalo. Ahora bien, la desigualdad de Jensen aplicada a esta función en los puntos $a$ y $b$ nos asegura que $$\frac{a+b}{2+a+b}=f\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq\frac{f(a)+f(b)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\right),$$ de donde se deduce la desigualdad que queremos probar. Como la función es estrictamente convexa, la igualdad en la desigualdad de Jensen sólo puede alcanzarse cuando $a=b$ y, por tanto, la igualdad en la desigualdad del enunciado es cierta si, y sólo si, $a=b$.

Solución. Poniendo denominador común y operando, obtenemos que $$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{2(a+b)}{2+a+b}=\frac{-(a-b)^2}{(1+a)(1+b)(2+a+b)}\leq 0,$$ (observemos que los denominadores son positivos ya que $a\gt-1$ y $b\gt -1$), de donde se deduce la desigualdad del enunciado.

Solución. Operando con la desigualdad es fácil llegar a que $$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b}=\frac{a b (a+b+2)}{(1+a) (1+b) (1+a+b)}{.}$$ Como esta última cantidad es mayor o igual que $0$, la desigualdad del enunciado se deduce fácilmente. Además, como $2+a+b\geq 2\gt 0$, vemos que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=0$ ó $b=0$.