Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Operando con la desigualdad es fácil llegar a que $$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b}=\frac{a b (a+b+2)}{(1+a) (1+b) (1+a+b)}{.}$$ Como esta última cantidad es mayor o igual que $0$, la desigualdad del enunciado se deduce fácilmente. Además, como $2+a+b\geq 2\gt 0$, vemos que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=0$ ó $b=0$.

Solución. Para probar la desigualdad de la izquierda observemos que si uno de los tres números es cero, entonces ésta es trivial. En caso contrario, sumando $2xyz$ a ambos miembros y dividiendo por $xyz$, la desigualdad es equivalente a $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2.$$ Ahora bien, la desigualdad entre las medias aritmética y armónica nos dice que $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=9\gt 2,$$ con lo que la desigualdad está probada.

Para la desigualdad de la derecha, hacemos el siguiente desarrollo: \begin{eqnarray*} (1-2x)(1-2y)(1-2z)&=&1-2(x+y+z)+4(xy+yz+xz)-8xyz\\ &=&-1+4(xy+yz+xz)-8xyz, \end{eqnarray*} Despejando y usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, llegamos a que \begin{eqnarray*} xy+yz+xz-2xyz&=&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}(1-2x)(1-2y)(1-2z)\\ &\leq&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{3-2(x+y+z)}{3}\right)^3=\frac{7}{27}{.} \end{eqnarray*} No obstante, lo anterior tiene un error: para aplicar la desigualdad entre las medias es necesario que los términos $(1-2x)$, $(1-2y)$ y $(1-2z)$ sean no negativos. Por tanto, veamos qué pasa si alguno de los números $x,y,z$ es mayor que $\frac{1}{2}$. Como $x+y+z=1$, a lo sumo uno de los tres es mayor que $\frac{1}{2}$, en cuyo caso $(1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq 0$ mientras que $3-2(x+y+z)=1\geq 0$, lo que nos dice que desigualdad de arriba también es cierta cuando uno de los tres números es mayor que $\frac{1}{2}$. Esto termina la demostración.

Solución. El truco de este problema es acotar $\frac{1}{a}\geq\frac{1}{2^r}$ donde $2^r$ la menor potencia de $2$ que es mayor o igual que $a$. En otras palabras, tenemos que \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}&\geq&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}&\geq&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}&\geq&\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\\ &\vdots& \end{eqnarray*} Así, tenemos que el miembro de la izquierda del enunciado es mayor o igual que \[1+\frac{1}{2}+\stackrel{(n)}{\ldots}+\frac{1}{2}=1+\frac{n}{2}{.}\]

Solución. Observemos en primer lugar que \[\frac{a^n+a^{-n}-2}{a+a^{-1}-2}=\frac{(a^n-1)^2}{a^{n-1}(a-1)^2}.\] Por tanto, la desigualdad a probar es equivalente a \[n\lt \frac{a^n-1}{a^{(n-1)/2}(a-1)}=\frac{1}{a^{(n-1)/2}}(1+a+a+\ldots+a^{n-1}),\] donde hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. No es demasiado fácil darse cuenta de esta forma de escribirlo, pero es necesario reconocer la fracción $(a^n-1)/(a-1)$ en cualquier contexto. Por tanto, tenemos que probar que \[n\lt a^{(1-n)/2}+a^{(3-n)/2}+a^{(5-n)/2}+\ldots+a^{(n-3)/2}+a^{(n-1)/2}.\] Ahora bien, el producto de todos los sumandos del miembro de la derecha es igual a $1$ (¿por qué?), luego la desigualdad es consecuencia de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. Notemos que no se puede dar la igualdad ya que, en tal caso, todos estos sumando habrían de ser iguales, con lo que $a=1$, pero el enunciado descarta este caso.

Solución. En primer lugar, observemos que \[(2r-1)^2+(2s-1)^2+(2u-1)^2+(2v-1)^2\geq 0.\] Desarrollando esta desigualdad y agrupando términos llegamos a que \[(r-s^2)+(s-u^2)+(u-v^2)+(v-r^2)\leq 1.\] De aquí deducimos que alguno de estos cuatro números es menor o igual que $\frac{1}{4}$ ya que si todos fuesen mayores que $\frac{1}{4}$, la suma sería mayor que $1$.

Nota. Si se alcanza la igualdad en la desigualdad del enunciado, entonces $r=s=u=v=\frac{1}{2}$.