OME Local |
OME Nacional |
OIM |
OME Andalucía |
Retos UJA |
Para la desigualdad de la derecha, hacemos el siguiente desarrollo: \begin{eqnarray*} (1-2x)(1-2y)(1-2z)&=&1-2(x+y+z)+4(xy+yz+xz)-8xyz\\ &=&-1+4(xy+yz+xz)-8xyz, \end{eqnarray*} Despejando y usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, llegamos a que \begin{eqnarray*} xy+yz+xz-2xyz&=&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}(1-2x)(1-2y)(1-2z)\\ &\leq&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{3-2(x+y+z)}{3}\right)^3=\frac{7}{27}{.} \end{eqnarray*} No obstante, lo anterior tiene un error: para aplicar la desigualdad entre las medias es necesario que los términos $(1-2x)$, $(1-2y)$ y $(1-2z)$ sean no negativos. Por tanto, veamos qué pasa si alguno de los números $x,y,z$ es mayor que $\frac{1}{2}$. Como $x+y+z=1$, a lo sumo uno de los tres es mayor que $\frac{1}{2}$, en cuyo caso $(1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq 0$ mientras que $3-2(x+y+z)=1\geq 0$, lo que nos dice que desigualdad de arriba también es cierta cuando uno de los tres números es mayor que $\frac{1}{2}$. Esto termina la demostración.
Nota. Si se alcanza la igualdad en la desigualdad del enunciado, entonces $r=s=u=v=\frac{1}{2}$.
Observemos que $(n!)^2=1^2\cdot2^2\cdots n^2$ y este producto lo podemos reordenar como el producto de $n$ factores (agrupando el primero con el último, el segundo con el penúltimo, etc.), es decir, \[(n!)^2=(1\cdot n)\cdot(2\cdot(n-1))\cdots((n-1)\cdot 2)\cdot(n\cdot 1).\] Ahora vamos a analizar cada término $k(n-k)$. Si nos fijamos bien, la función $f(x)=x(n-x)$ se anula en $x=0$ y $x=n$ y es positiva en el intervalo $(0,n)$. Como su gráfica es una parábola, es fácil ver que los valores más pequeños de $f(x)$ cuando $x$ es un número natural en el intervalo $[1,n-1]$ se alcanzarán para $x=1$ y $x=n-1$, lo que nos dice que $k(n-k)\geq f(1)=n$ para $k$ entre $1$ y $n-1$ y la igualdad se da sólo para $k=1$ y $k=n-1$.
En consecuencia, sustituyendo cada término de la forma $k(n-k)$ por $n$, deducimos que $(n!)^2\geq{n^n}$ y la igualdad se alcanza sólo cuando $n=1$ ó $n=2$.