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Nota. Esta es una solución sin derivadas, aunque es obvio que el problema se puede resolver fácilmente estudiando máximos y mínimos. Tenemos que \[f(x)=\frac{2x-7}{2x^2-2x-5}\ \Longrightarrow\ f'(x)=\frac{-4(x-1)(x-6)}{(2 x^2-2x-5)^2}\] luego $f'(x)=0$ sólo si $x=1$ o $x=6$. Analizando las asíntotas verticales y horizontales de $f(x)$, se puede ver que no hay valores de $f(x)$ entre el máximo local $f(6)=\frac{1}{11}$ y el mínimo local $f(1)=1$.
Como el concurso es en honor del famoso número $\pi$, el examen se realiza en una enorme mesa circular, de modo que cada participante tiene un participante a su derecha y otro a su izquierda (al menos hay tres participantes). Y, como los correctores de la prueba son matemáticos (que si no tienen problemas se los buscan), no publican las notas de cada estudiante sino la media aritmética de las notas de participantes que se sentaron en posiciones contiguas, tomados de dos en dos. Esto se plantea como un último reto para que cada estudiante pueda saber su nota. Además, les comunican que ningún participante ha obtenido la máxima calificación ni tampoco la mínima.
¿Hubo alguna motocicleta que viajó con un único ocupante?
Supongamos ahora que $n\geq 4$ y consideremos las notas consecutivas $x_1,x_2,x_3,x_4$. Tenemos entonces que \[\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{x_2+x_3}{2}+\frac{x_3+x_4}{2}=\frac{x_1+x_4}{2},\] luego si eliminamos a los participantes en las posiciones $2$ y $3$, también conocemos las medias de los restantes (ahora las posiciones $1$ y $4$ son contiguas). Por tanto, resolver el problema para $n$ participantes es equivalente a resolverlo para $n-2$. Podemos repetir el proceso restando de dos en dos participantes hasta quedarnos con sólo dos o tres, en cuyo caso aplicamos los casos ya estudiados. Deducimos que si los estudiantes pueden hallar su nota, entonces $n$ es impar.
Nota. Esta es una solución dada por Samuel Gómez Moreno, proponente también del problema original.
Nota. Otra forma de descartar el caso en que $n$ es par es observar que las medias satisfacen $m_1+m_3+\ldots+m_{n-1}=m_2+m_4+\ldots+m_{n}$, luego el sistema lineal formado por las ecuaciones de la forma $x_i+x_{i+1}=2m_i$ tiene al menos un grado de libertad, esto es, $x_1,\ldots,x_n$ no están determinados.
Nota. Originalmente, la calculadora se encuentra encendida y se muestra el valor $0$ en pantalla. Las teclas mencionadas funcionan de la forma usual.
Nota. Una forma elemental (aunque no es matemáticamente rigurosa) para justificar el valor de la suma de los términos de la progresión geométrica es tomar \[S=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\ldots\ \Longrightarrow\ \frac{1}{4}S=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\ldots\] Por tanto, restando ambas igualdades se cancelan todos los términos menos el primero: \[S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{4}\ \Leftrightarrow\ S=\frac{1}{3}.\]
Nota. En la solución oficial se razona en la dirección opuesta desarrollando $(ab+1)(ac+1)(ad+1)$ y usando la condición del enunciado para ver que el resultado es $0$. Sin embargo, suele ser más habitual comenzar manipulando lo que nos dan para ver a dónde llegamos. Existen muchas manipulaciones distintas que dan el resultado.