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Vamos a probar ahora que si $x=\frac{u}{v}$ es racional (con $u,v$ enteros), entonces la sucesión contiene siempre tres términos en progresión geométrica y esto demostrará que los racionales son los únicos números que cumplen la propiedad del enunciado. Podemos suponer que $u\neq 0$ y $v\neq\pm 1$ ya que los enteros trivialmente cumplen esta propiedad. Nos vamos a inspirar en lo que ya hemos demostrado igualando $\frac{u}{v}=\frac{ac-b^2}{2b-a-c}$. Esta ecuación se cumple si tomamos $a=0$, $b=u$ y $c=2u+uv$. Comprobamos que, para $r=\frac{x+b}{x+a}=1+v$, se cumple que \[\frac{x+c}{x+b}=\frac{\frac{u}{v}+2u+uv}{\frac{u}{v}+u}=\frac{u+2uv+uv^2}{u+uv}=\frac{u(1+v)^2}{u(1+v)}=1+v=r,\]
luego los números $x+a,x+b,x+c$ están en progresión geométrica.Nota. Dada una sucesión definida por una recurrencia $x_{n+2}=a x_{n+1}+bx_n$, esta tiene polinomio característico $x^2-ax-b$. Si este polinomio tiene dos raíces distintas $\lambda$ y $\mu$, entonces la sucesión es de la forma $x_n=r\lambda^n+s\mu^n$ para ciertas constantes $r$ y $s$. Si el polinomio tiene una raíz doble $\lambda$, entonces las soluciones son de la forma $x_n=c\lambda^n+dn\lambda^n$ para ciertas constantes $c$ y $d$. Las constantes se determinan imponiendo la condición inicial.
En el caso de la recursión no homogénea $x_{n+2}=a x_{n+1}+bx_n+f(n)$, se ha de comenzar encontrando una solución particular. En el caso de que $f(n)$ sea un polinomio, la solución particular es un polinomio (por eso hemos probado con polinomios de un grado superior en este problema). Una vez obtenida la solución particular, la solución general es la suma de la solución particular con todas las soluciones de la ecuación homogénea asociada (para $f(n)=0$).