Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $n^2$ es un elemento de la sucesión. Llamando $d\in\mathbb{N}$ a su diferencia, todos los términos a partir de $n^2$ serán de la forma $n^2+ad$ con $a\in\mathbb{N}$, por lo que $(n+d)^2=n^2+(2n+d)d$ es otro cuadrado en la sucesión y es mayor que $n^2$. Esto implica claramente que la sucesión contiene infinitos cuadrados.

Solución. Al insertar entre cada dos números su suma, a la suma de todos los números le estamos sumando ambos números. Como cada número del paso $n$ aparece en dos sumas nuevas del paso $n+1$, en total habremos sumado todos los números dos veces. Si llamamos $S_n$ a la suma de los números en el paso $n$, tendremos entonces que $S_{n+1}=S_n+2S_n=3S_n$. Ahora bien, en el paso $1$ tenemos que $S_1=1+1=2$, luego se sigue claramente que $S_{n}=2\cdot 3^{n-1}$.

Nota. En realidad, cambiar la cantidad de números iniciales o sus valores sólo afecta a $S_1$, de forma que la fórmula $S_{n}=3^{n-1}S_1$ independientemente de la configuración inicial.

Solución. Supongamos que el máximo de todos los números es $a_k$ para cierto índice $k$ distinto de $0$ y $n$ (si el máximo fuera $a_0=0$ o $a_n=0$ no habría nada que demostrar). Entonces, \[2a_k\leq a_{k-1}+a_{k+1}\leq a_k+a_k=2a_k,\] ya que $a_k$ es el máximo. Esto nos dice que $a{k-1}=a_k=a_{k+1}$, por lo que el máximo también se alcanza en $a{k-1}$. Repitiendo el argumento, el máximo también se alcanzará en $a_{k-2}$, en $a_{k-3}$,... y así sucesivamente. Por tanto, el máximo también se alcanza en $a_0=0$ y hemos terminado.

Nota. Lo que hemos probado realmente es que el máximo de la sucesión se alcanza estrictamente en $a_0$ y $a_n$ o bien la sucesión es constante cero. Más aún, no es difícil ver a partir de este argumento que si la sucesión no es constante cero, entonces tiene un único mínimo y es estrictamente decreciente hasta el mínimo y luego estrictamente creciente hasta el máximo

Solución. La condición $a\geq\frac{-3}{4}$ asegura que las raíces cuadradas están bien definidas, luego toda la expresión está bien definida (las raíces cúbicas se pueden calcular para todo número real). Si llamamos $x$ e $y$ a los dos sumandos, no es difícil comprobar que \[x^3+y^3=a+1,\qquad xy=\frac{-a}{3},\] por lo que podemos escribir, usando el binomio de Newton, \[(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=a+1-a(x+y).\] En otras palabras, el número del enunciado es solución de la ecuación $z^3+az-a-1=0$. Esta ecuación de tercer grado se puede factorizar como $(z-1)(z^2+z+a+1)=0$ y la ecuación $z^2+z+a+1$ tiene discriminante $1-4(a+1)=-3-4a\leq 0$, siendo la igualdad únicamente para $a=\frac{-3}{4}$. Deducimos que $x+y=1$ para $a\neq\frac{-3}{4}$. Para $a=\frac{-3}{4}$, sustituimos en la expresión del enunciado y obtenemos también que $x+y=1$. Queda así demostrado que dicha expresión es igual a $1$ para todo $a\geq\frac{-3}{4}$.

Solución. Para $n=1$, tenemos que $1989=9\cdot 221= 3^2(10^2+11^2)=3^2(5^2+14^2)$. Para $n=2$, tenemos que \[1989^2=9^2\cdot 221^2= 9^2\cdot 48841=9^2(85^2+204^2)=9^2(104^2+195^2).\] De aquí el resultado es inmediato ya que basta multiplicar uno de estos dos números por el cuadrado perfecto $1989^{2n}=(1989^n)^2$ para obtener cualquier potencia de $1989$. Obviamente, los dos resultados obtenidos de las descomposiciones anteriores son distintos.