Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que el máximo de todos los números es $a_k$ para cierto índice $k$ distinto de $0$ y $n$ (si el máximo fuera $a_0=0$ o $a_n=0$ no habría nada que demostrar). Entonces, \[2a_k\leq a_{k-1}+a_{k+1}\leq a_k+a_k=2a_k,\] ya que $a_k$ es el máximo. Esto nos dice que $a{k-1}=a_k=a_{k+1}$, por lo que el máximo también se alcanza en $a{k-1}$. Repitiendo el argumento, el máximo también se alcanzará en $a_{k-2}$, en $a_{k-3}$,... y así sucesivamente. Por tanto, el máximo también se alcanza en $a_0=0$ y hemos terminado.

Nota. Lo que hemos probado realmente es que el máximo de la sucesión se alcanza estrictamente en $a_0$ y $a_n$ o bien la sucesión es constante cero. Más aún, no es difícil ver a partir de este argumento que si la sucesión no es constante cero, entonces tiene un único mínimo y es estrictamente decreciente hasta el mínimo y luego estrictamente creciente hasta el máximo

Solución. La condición $a\geq\frac{-3}{4}$ asegura que las raíces cuadradas están bien definidas, luego toda la expresión está bien definida (las raíces cúbicas se pueden calcular para todo número real). Si llamamos $x$ e $y$ a los dos sumandos, no es difícil comprobar que \[x^3+y^3=a+1,\qquad xy=\frac{-a}{3},\] por lo que podemos escribir, usando el binomio de Newton, \[(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=a+1-a(x+y).\] En otras palabras, el número del enunciado es solución de la ecuación $z^3+az-a-1=0$. Esta ecuación de tercer grado se puede factorizar como $(z-1)(z^2+z+a+1)=0$ y la ecuación $z^2+z+a+1$ tiene discriminante $1-4(a+1)=-3-4a\leq 0$, siendo la igualdad únicamente para $a=\frac{-3}{4}$. Deducimos que $x+y=1$ para $a\neq\frac{-3}{4}$. Para $a=\frac{-3}{4}$, sustituimos en la expresión del enunciado y obtenemos también que $x+y=1$. Queda así demostrado que dicha expresión es igual a $1$ para todo $a\geq\frac{-3}{4}$.

Solución. Para $n=1$, tenemos que $1989=9\cdot 221= 3^2(10^2+11^2)=3^2(5^2+14^2)$. Para $n=2$, tenemos que \[1989^2=9^2\cdot 221^2= 9^2\cdot 48841=9^2(85^2+204^2)=9^2(104^2+195^2).\] De aquí el resultado es inmediato ya que basta multiplicar uno de estos dos números por el cuadrado perfecto $1989^{2n}=(1989^n)^2$ para obtener cualquier potencia de $1989$. Obviamente, los dos resultados obtenidos de las descomposiciones anteriores son distintos.

Solución. Como tenemos que $[\frac{3}{2}]=1$ y $\{\frac{3}{2}\}=\frac{1}{2}$, estamos buscando el conjunto de números reales tales que \[([x]-1)^2+(\{x\}-0.5)^2\lt \frac{202^2}{100^2}=4.0804.\] La parte entera de un número $x$ que cumpla esta desigualdad puede ser $-1$, $0$, $1$, $2$ o $3$ ya que , en caso de ser otro número, el sumando $([x]-1)^2$ sería mayor o igual que $49. Distingamos casos:

• Si $[x]=-1$, entonces la desigualdad nos queda $(\{x\}-0.5)^2\lt 0.0804$ o bien $|\{x\}-0.5|\lt \sqrt{0.0804}$. Esto nos da el intervalo de soluciones $(-0.5-\sqrt{0.0804},-0.5+\sqrt{0.0804})$.
• Si $[x]=0$, entonces la desigualdad nos queda $(\{x\}-0.5)^2\lt 3.0804$ o bien $|\{x\}-0.5|\lt \sqrt{3.0804}$. Como la parte decimal está entre $0$ y $1$, deducimos que todo el intervalo $[0,1)$ son soluciones de la desigualdad.
• Si $[x]=1$, entonces $\{x\}$ puede ser cualquier número entre $0$ y $1$ y la desigualdad es cierta. Esto nos da el intervalo de soluciones $[1,2)$.
• Si $[x]=2$, se razona de la misma manera que si $[x]=0$ por simetría y tenemos todo el intervalo de soluciones $[2,3)$.
• Si $[x]=3$, se razona de la misma manera que si $[x]=-1$ por simetría y tenemos el intervalo de soluciones $(-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804})$.

Con todo esto, el conjunto de puntos buscado es \[(-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804})\cup[0,3)\cup (-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804}).\]

Nota. Hemos usado decimales por comodidad pero todos los números decimales que aparecen son exactos, concretamente $0.0804=\frac{201}{2500}$ y $3.0804=\frac{7701}{2500}$.

Solución. Escribamos por simplicidad $x_n=(1+\sqrt{5})^n+(1-\sqrt{5})^n$. Vamos a probar el resultado por inducción completa sobre $n$. El caso base $n=1$ (en realidad, para $n=0$ también es válido si se quiere incluir), nos da $x_1=(1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})=2$, que es un entero divisible entre $2$. Supongamos entonces que $x_k$ es un entero divisible entre $2^k$ para todo $k\leq n$. Para analizar el siguiente número $x_{n+1}$, hacemos el siguiente desarrollo \begin{align*} 2x_n&=[(1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})][(1+\sqrt{5})^n+(1-\sqrt{5})^n]\\ &=(1+\sqrt{5})^{n+1}+(1-\sqrt{5})^{n+1}+(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})^n+(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})^n\\ &=x_{n+1}+(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})x_{n-1}=x_{n+1}-4x_{n-1} \end{align*} Podemos así despejar $$x_{n+1}=2x_n+4x_{n-1}=2\cdot 2^n\cdot a+4\cdot 2^{n-1}\cdot b=2^{n+1}(a+b),$$ para ciertos enteros $a$ y $b$, donde hemos usado por hipótesis de inducción que existen dichos enteros tales que $x_n=2^n\cdot a$ y $x_{n-1}=2^{n-1}\cdot b$. Deducimos así que $x_{n+1}$ es un múltiplo de $2^{n+1}$ y hemos terminado la demostración.

Nota. Sabiendo un poco sobre sucesiones recurrentes lineales, el número $x_n=\alpha^n+\beta^n$ verifica una recurrencia lineal $x_{n+1}=p x_n+qx_{n-1}$, siendo $\alpha$ y $\beta$ las raíces del polinomio $x^2-px-q=0$.