Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Comencemos despejando $x$ e $y$ en función de $z$ y $w$. Pare ello, observemos que $x$ e $y$ son soluciones de la ecuación de segundo grado (en la incógnita $u$) dada por \[0=(u-x)(u-y)=u^2-(x+y)u+xy=u^2-(z+w)u+\frac{zw}{2}.\] Por consiguiente, usando la fórmula de la ecuación de segundo grado, tenemos que \[u=\frac{z+w\pm\sqrt{z^2+w^2}}{2}.\] Como cambiar $x$ por $y$ no afecta a la ecuación inicial, no podemos decir qué elección del signo $\pm$ corresponde a $x$ y cuál a $y$. No obstante, cambiar $x$ por $y$ resulta en invertir el cociente $\frac{x}{y}$, luego asumiremos que $x$ corresponde al signo $+$ e $y$ al signo $-$ (y después razonaremos la elección opuesta).

Como $z$ y $w$ son positivas, las dos soluciones anteriores para $u$ también lo son ya que \[(z+w)^2=z^2+w^2+2zw>z^2+w^2,\] de donde $z+w>\sqrt{z^2+w^2}$. Esto nos dice que para cada par de números positivos $(z,w)$ existe un par $(x,y)$ tal que $x,y,z,w$ cumplen el enunciado (y es único salvo permutar $x$ e $y$). Podemos escribir entonces \begin{eqnarray*} \frac{x}{y}&=&\frac{z+w+\sqrt{z^2+w^2}}{z+w-\sqrt{z^2+w^2}}\\ &=&\frac{(z+w+\sqrt{z^2+w^2})^2}{(z+w-\sqrt{z^2+w^2})(z+w+\sqrt{z^2+w^2})}\\ &=&\frac{z^2+w^2+zw+(z+w)\sqrt{z^2+w^2}}{zw}\\ &=&\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+1+\left(\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{w}}+\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}}\right)\sqrt{\frac{z}{w}+\frac{w}{z}}. \end{eqnarray*}

Llamando $f(z,w)$ a esta última expresión y aplicando para $r=\frac{z}{w}$ y $r=\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{w}}$ la desigualdad elemental $r+\frac{1}{r}\geq 2$, llegamos a que \[f(w,z)=\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+1+\left(\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{w}}+\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}}\right)\sqrt{\frac{z}{w}+\frac{w}{z}}\geq3+2\sqrt{2}.\] Además, la función $g:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ dada por $g(t)=f(1,t)$ cumple que $g(1)=3+2\sqrt{2}$ y $\lim_{t\to+\infty}g(t)=+\infty$. Como $g$ es continua, el teorema del valor intermedio nos garantiza que $g$ toma todos los valores en el intervalo $[3+2\sqrt{2},+\infty)$. Por tanto, los valores que toma $\frac{x}{y}$, que no son otros que los que toma $f$, son también los del intervalo $[3+2\sqrt{2},+\infty)$.

Finalmente, si permutamos $x$ e $y$, estamos invirtiendo el cociente $\frac{x}{y}$, luego obtendremos también los valores del intervalo $(0,\frac{1}{3+2\sqrt{2}}]=(0,3-2\sqrt{2}]$. Deducimos que la solución a la pregunta del enunciado es el conjunto \[(0,3-2\sqrt{2}]\cup[3+2\sqrt{2},+\infty).\]