Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observemos que, usando la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, tenemos que \[\frac{5}{3}=4^x-4^y=(2^2)^x-(2^2)^y=(2^x)^2-(2^y)^2=(2^x+2^y)(2^x-2^y)=2^x+2^y,\] con lo que el sistema original puede escribirse como \[\left\{\begin{array}{l}2^x-2^y=1,\\2^x+2^y=\frac{5}{3}{.}\end{array}\right.\] Sumando las dos ecuaciones llegamos a que $2^x=\frac{4}{3}$ y restándolas llegamos a que $2^y=\frac{1}{3}$, luego podemos despejar $x=\log_2(\frac{4}{3})$ e $y=\log_2(\frac{1}{3})$. De esta forma, \[x-y=\log_2\left(\frac{4}{3}\right)-\log_2\left(\frac{1}{3}\right)=\log_2\left(\frac{4/3}{1/3}\right)=\log_2(4)=2.\]

Solución. Razonemos por reducción al absurdo, suponiendo que es racional. Entonces, existen números enteros $p$ y $q$ ($p\neq 0$) tales que \[\frac{\log_{10}m}{\log_{10}n}=\frac{p}{q}.\] Usando las propiedades de los logaritmos, podemos escribir la igualdad anterior como \[q\log_{10}m=p\log_{10}n\ \Longrightarrow\ \log_{10}(m^q)=\log_{10}(n^p).\] Podemos quitar los logaritmos de ambos miembros haciendo \[m^q=10^{\log_{10}(m^q)}=10^{\log_{10}(n^p)}=n^p{.}\] Como $m$ y $n$ son primos entre sí no tienen factores primos comunes y $p\neq 0$, deducimos que $m^q=n^p$ sólo puede ocurrir si $m=n=1$ y el enunciado nos dice que $m,n\gt 1$.

Solución. El enunciado nos dice que existen números naturales $a,b\gt 4$ y $c\gt 5$ tales que el número buscado $n$ se puede escribir de las siguientes tres formas: \begin{eqnarray*} n&=&(a-4)+\ldots+(a-1)+a+(a+1)+\ldots+(a+4)=9a,\\ n&=&(b-4)+\ldots+(b-1)+b+(b+1)+\ldots+(b+4)=10b+5,\\ n&=&(c-5)+\ldots+(c-1)+c+(c+1)+\ldots+(c+5)=11c. \end{eqnarray*} Esta forma de escribir los números consecutivos es ideal para simplificar los cálculos. Así, la primera y la tercera igualdad nos dicen que $n$ ha de ser múltiplo de 9 y de 11, respectivamente, mientras que la segunda nos dice que ha de ser múltiplo de 5 (pero no de 10). El menor número que cumple estas condiciones es obviamente $n=9\cdot 11\cdot 5=495$, que se obtiene para $a=55$, $b=49$ y $c=45$.

Solución. La desigualdad del enunciado es equivalente a probar que \[a_0^3+4a_1^3-10a_2^3+4a_3^3+a_4^3\geq 0{.}\] Por la simetría del término de la izquierda, escribamos \[a_0=a-2d,\quad a_1=a-d,\quad a_2=a,\quad a_3=a+d,\quad a_4=a+2d.\] Sustituyendo y desarrollando los cubos tenemos que \[a_0^3+4a_1^3+4a_3^3+a_4^3-10a_2^3=(a-2d)^3+4(a-d)^3-10a^3+4(a+d)^3+(a+2d)^3=48ad^2{,}\] que evidentemente es positivo ya que $a=a_2\gt 0$ y $d\geq 0$.

Nota. La igualdad se alcanza si, y sólo si, $d=0$. La desigualdad sigue siendo cierta siempre que $a_2\geq 0$ (no es necesario que todos los términos sean positivos); de hecho, si $a_2\leq 0$, se obtiene una desigualdad en sentido contrario.

Solución. Los primeros términos de las sucesiones son \begin{eqnarray*} x_n:&\quad& 1,1,3,5,11,21,43,...\\ y_n:&\quad& 1,7,17,55,161,487,... \end{eqnarray*} Si calculamos los restos módulo 8, la sucesión queda \begin{eqnarray*} x_n\ (\text{mód}\ 8):&\quad& 1,1,3,5,3,5,3,5,...\\ y_n\ (\text{mód}\ 8):&\quad& 1,7,1,7,1,7,1,7,... \end{eqnarray*} Como cada resto sólo depende de los dos anteriores, en cuanto se repite una pareja de restos consecutivos, los demás restos se repiten periódicamente. Como el único resto que aparece en las dos sucesiones es el $1$, deducimos que cualquier número que aparezca en las dos tiene que ser congruente con $1$ módulo $8$, y a la vista de la primera sucesión sólo puede ser el propio $1$.