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Consideremos la función $f(x)=\log_5(x-5)+\log_6(x+6)$, que está definida para $x\gt 5$ y es estrictamente creciente (es decir, $f(x)\gt f(y)$ si $x\gt y$), lo que nos dice que si la ecuación $f(x)=4$ tiene una solución, entonces la solución es única (¿por qué?). Visto eso, si uno prueba un poco con números sencillos, verá rápidamente que $x=30$ es una solución, luego es la única.
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$, obtenemos \[2x=a\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-a\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}.\] Usando esta ecuación y la original, es fácil despejar \begin{eqnarray*} \sqrt{x+\sqrt{2x-1}}&=&\frac{a^2+2\sqrt{2x-1}}{2a}\\ \sqrt{x-\sqrt{2x-1}}&=&\frac{a^2-2\sqrt{2x-1}}{2a} \end{eqnarray*} La primera de estas igualdades no nos da información por ahora, pero la segunda nos dice que el miembro de la derecha tiene que ser positivo. Despejando $x$, esto es equivalente a que \[x<\frac{1}{2}+\frac{a^4}{8}.\] Observemos también que si $a=\sqrt{2}$ entonces las dos igualdades anteriores se cumplen para cualquier valor de $x$, lo que nos dice que la primera ecuación del enunciado se cumple si, y sólo si, $x\in[\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{a^4}{8}]=[\frac{1}{2},1]$.
Vamos a suponer ahora que $a\neq\sqrt{2}$. Elevando al cuadrado las dos igualdades despejadas anteriormente y sumando, llegamos a \[2x=\left(\frac{a^2+2\sqrt{2x-1}}{2a}\right)^2+\left(\frac{a^2-2\sqrt{2x-1}}{2a}\right)^2=\frac{a^4+4(2x-1)}{2a^2}.\] Por lo tanto, podemos expresar esta última condición como la ecuación de primer grado $(8-4a^2)x=4-a^4$. Para $a=1$, la única solución es $x=\frac{3}{4}$... ¡pero no cumple $x< \frac{1}{2}+\frac{a^4}{8}=\frac{5}{8}$, luego tenemos que descartarla! Para $a=2$, la única solución es $x=\frac{3}{2}$, que puede comprobarse que cumple la ecuación.
Resumiendo, para $a=\sqrt{2}$, tenemos que las soluciones son los elementos del intervalo $[\frac{1}{2},1]$, para $a=1$ no hay solución y para $a=2$ la única solución es $x=\frac{3}{2}$.
Finalmente, probaremos que las únicas posibilidades son $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ ó $f(x)=-x$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Por reducción al absurdo, si así no ocurriera, existirían $x_0,y_0\neq0$ tales que $f(x_0)=x_0$ y $f(y_0)=-y_0$ y, sustituyendo estos valores en la ecuación inicial, tendríamos que $f(x_0^2-y_0)=x_0^2+y_0$ donde tenemos dos posibilidades $f(x_0^2-y_0)=x_0^2-y_0$ ó $f(x_0^2-y_0)=-x_0^2+y_0$ (por ser $f(x)^2=x^2$ para todo $x\in\mathbb{R}$). En el primer caso, se llega a que $y_0=0$ y en el segundo a que $x_0=0$, pero habíamos supuesto que $x_0,y_0\neq 0$.
Por tanto, las únicas soluciones de la ecuación del enunciado son $f(x)=x$ y $f(x)=-x$.