Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Haciendo $x=y$, se tiene que $f(0)=0$ y, haciendo ahora $y=0$, se tiene que $f(x^2)=xf(x)$, de donde deducimos que $f$ es una función impar, es decir, $f(-x)=-f(x)$. Por tanto, haciendo el cambio $y\mapsto-y$ en la ecuación original, se tiene que $$(x-y)(f(x)+f(y))=f(x^2-y^2)=f(x^2+(-y)^2)=(x+y)(f(x)-f(y))$$ Desarrollando el primer y el último término e igualándolos, se tiene que $xf(y)=yf(x)$ para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$, de donde tenemos que $f(x)=xf(1)$ y hemos probado que las soluciones de la ecuación del enunciado tienen que ser de la forma $f(x)=\lambda x$ para algún $\lambda\in\mathbb{R}$. Como estas funciones cumplen dicha ecuación, deducimos que son todas las soluciones.

Solución. Haciendo $x=0$, tenemos que $f(f(y))=f(0)^2+y$. Por otro lado, $f$ es sobreyectiva a la vista de la ecuación funcional ya que el miembro de la derecha toma cualquier valor real al variar $x$ e $y$. Por tanto, existirá $x_0\in\mathbb{R}$ tal que $f(x_0)=0$ y, sustituyendo $x=y=x_0$ en la ecuación, tenemos que $x_0=f(f(x_0))=f(0)^2+x_0$, de donde $f(0)=0$ y $f(f(x))=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Ahora bien, sustituyendo $y=0$ en la ecuación inicial, tenemos que $f(xf(x))=f(x)^2$ y, haciendo el cambio $x\mapsto f(x)$ en esta última igualdad, se llega a que $f(xf(x))=x^2$ luego $f(x)^2=x^2$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

Finalmente, probaremos que las únicas posibilidades son $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ ó $f(x)=-x$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Por reducción al absurdo, si así no ocurriera, existirían $x_0,y_0\neq0$ tales que $f(x_0)=x_0$ y $f(y_0)=-y_0$ y, sustituyendo estos valores en la ecuación inicial, tendríamos que $f(x_0^2-y_0)=x_0^2+y_0$ donde tenemos dos posibilidades $f(x_0^2-y_0)=x_0^2-y_0$ ó $f(x_0^2-y_0)=-x_0^2+y_0$ (por ser $f(x)^2=x^2$ para todo $x\in\mathbb{R}$). En el primer caso, se llega a que $y_0=0$ y en el segundo a que $x_0=0$, pero habíamos supuesto que $x_0,y_0\neq 0$.

Por tanto, las únicas soluciones de la ecuación del enunciado son $f(x)=x$ y $f(x)=-x$.

Solución. Llamemos $x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb{R}$ a esos cuatro números y $P$ a su producto. La condición del enunciado es equivalente a $P+x_i^2=2x_i$ para cualquier $x_i$; en otras palabras, $x_i^2-2x_i=P$ no depende de $i$, luego $x_i^2-2x_i=x_j^2-2x_j$ para cualesquiera $i,j$. Esta última igualdad puede expresarse como \[(x_i-x_j)(x_i+x_j-2)=0.\] Vemos así que, dados dos de los cuatro números, o bien son iguales, o bien suman $2$. Deducimos que entre los cuatro números $x_1,x_2,x_3,x_4$ no puede haber más de dos valores distintos. Se nos presentan así tres casos, salvo reordenación de los números:

• $x_1=x_2=x_3=x_4=a$, de donde tiene que ser $a=1$ para que se cumpla el enunciado.
• $x_1=x_2=x_3=a$, $x_4=2-a$. Imponiendo la condición del enunciado, obtenemos $a=1$ (que se correponde al caso anterior) o bien $a=-1$.
• $x_1=x_2=a$, $x_3=x_4=2-a$. Imponiendo la condición del enunciado, obtenemos sólo $a=1$.

De esta discusión deducimos que las soluciones son $\{1,1,1,1\}$ y $\{-1,-1,-1,3\}$.

Solución. Si desarrollamos la condición del enunciado tomando denominador común, llegamos a que \[(bc+ac+ab)(a+b+c)=abc.\] Desarrollando esta igualdad y pasándolo todo al miembro de la derecha tenemos que \[a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc=0.\] Esta última igualdad se puede factorizar de la siguiente forma (no es fácil darse cuenta pero el hecho de que si sustituimos $b$ por $-a$, se obtiene $0=0$ nos puede dar una pista): \[(a+b)(b+c)(a+c)=0.\] Por lo tanto, se cumplirá que $a=-b$, $b=-c$ ó $c=-a$. Supongamos que se cumple la primera condición (con las demás se razona de forma similar); entonces tenemos que \begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{1999}}+\frac{1}{b^{1999}}+\frac{1}{c^{1999}}&=&\frac{-1}{b^{1999}}+\frac{1}{b^{1999}}+\frac{1}{c^{1999}}=\frac{1}{c^{1999}}\\ &=&\frac{1}{(-b)^{1999}+b^{1999}+c^{1999}}=\frac{1}{a^{1999}+b^{1999}+c^{1999}}. \end{eqnarray*} como queríamos probar.

Nota. Obviamente podría haberse sustituido $1999$ por cualquier otro número impar.

Solución. Probaremos que la única sucesión que cumple las condiciones del enunciado es la de las potencias de $2$, esto es, $\{1,2,4,8,16,\ldots\}$. Que esta sucesión cumple el enunciado es obvio puesto que cada número natural se expresa, de forma única, en base $2$, lo que corresponde a expresarlo como suma de términos de esta sucesión.

Supongamos que $\{a_n\}$ es una sucesión cumpliendo el enunciado. El número $1$ se tiene que expresar como suma de términos de $\{a_n\}$, luego no queda otra posibilidad que $a_1=1$ (es estrictamente creciente). Probemos ahora por inducción que $a_n=2^{n-1}$ para lo que supondremos que $a_k=2^{k-1}$ para $0\leq k\lt n$. Todo número menor que $2^{n-1}$ se puede expresar como suma de términos distintos de $\{a_1,\ldots,a_{n-1}\}$ y $a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}=2^{n-1}-1$ es el mayor número así construído luego necesariamente $a_n=2^{n-1}$. En caso contrario, $2^{n-1}$ no podría expresarse como suma de términos distintos de la sucesión y hemos demostrado que esta es la única solución.