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Nota. Obviamente podría haberse sustituido $1999$ por cualquier otro número impar.
Supongamos que $\{a_n\}$ es una sucesión cumpliendo el enunciado. El número $1$ se tiene que expresar como suma de términos de $\{a_n\}$, luego no queda otra posibilidad que $a_1=1$ (es estrictamente creciente). Probemos ahora por inducción que $a_n=2^{n-1}$ para lo que supondremos que $a_k=2^{k-1}$ para $0\leq k\lt n$. Todo número menor que $2^{n-1}$ se puede expresar como suma de términos distintos de $\{a_1,\ldots,a_{n-1}\}$ y $a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}=2^{n-1}-1$ es el mayor número así construído luego necesariamente $a_n=2^{n-1}$. En caso contrario, $2^{n-1}$ no podría expresarse como suma de términos distintos de la sucesión y hemos demostrado que esta es la única solución.