Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos expresar \begin{eqnarray*} \sum_{i,j=1}^n\cos(x_i-x_j)&=&\sum_{i,j=1}^n\left(\cos(x_i)\cos(x_j)+\mathrm{sen}(x_i)\mathrm{sen}(x_j)\right)\\ &=&\left(\sum_{i=1}^n\cos(x_i)\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n\mathrm{sen}(x_i)\right)^2\geq 0, \end{eqnarray*} donde hemos usado la fórmula del coseno de una diferencia y agrupado términos.

Solución. Dado que la sucesión de los últimos dígitos de los números naturales es cíclica, también lo es la sucesión $a_n$. Concretamente, puede verse fácilmente que se repite cada veinte dígitos, los cuales son \begin{eqnarray*} 1&\to& 3\to 6\to 0\to 5\to 1\to 8\to 6\to 5\to 5\to\\ &\to&6\to 8\to 1\to 5\to 0\to 6\to 3\to 1\to 0\to 0 \end{eqnarray*} La suma de estos veinte números es igual a 70 y, como $1992=99\cdot 20+12$, deducimos que \[\sum_{n=1}^{1992} a_n=99\cdot\sum_{n=1}^{20} a_n+\sum_{n=1}^{12} a_n=99\cdot 70+54=6984.\]

Solución. Probando con los números $1$ y $-1$, podemos encontrar fácilmente las soluciones $(1,-1,1)$ y $(-1,-1,-1)$. Probaremos que son las únicas y, para ello, comenzaremos viendo que cualquier solución $(x,y,z)$ cumple que $y=-1$.

En efecto, si $y\gt -1$, en la primera ecuación tendríamos que $x\gt z$ y en la tercera que $x\lt z$, lo que nos lleva a una contradicción. Si ocurriera que $y\lt -1$, tendríamos que de la primera ecuación $x-z=-1-y\gt 0$ y, de la tercera, que $-x^3+z^3=-1-y^3\gt 0$, luego volvemos a caer en la misma contradicción. Deducimos entonces que $y=-1$.

Sustituyendo $y=-1$, tenemos que $x=z$ en la primera ecuación y $x^2+z^2=2$ en la segunda, luego $x=z=\pm 1$, de donde obtenemos las soluciones propuestas anteriormente. Observemos que ambas cumplen la tercera ecuación luego son las únicas soluciones.

Solución. Tenemos una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}_0$ cumpliendo las propiedades del enunciado. Por un lado, tenemos que $0=f(10)=f(2)+f(5)$, luego $f(2)=f(5)=0$ ya que ambos números son no negativos. Por tanto, se tiene que $f(1985)=f(5\cdot 397)=f(5)+f(397)=f(397)$. Por otro lado, las propiedades del enunciado nos dicen que \[0=f(3573)=f(3\cdot 3\cdot 397)=f(3)+f(3)+f(397)=f(397)\] ya que tanto $3573$ como $3$ tienen la cifra de las unidades igual a $3$. De aquí deducimos que $f(1985)=0$.

Solución. Consideremos la función auxiliar \[\varphi:\mathbb{R}-\{-1,0,1\}\to\mathbb{R}-\{-1,0,1\},\qquad\varphi(x)=\frac{1-x}{1+x},\] que cumple que $\varphi(\varphi(x))=x$.

La ecuación inicial se puede escribir como $f(x)^2f(\varphi(x))=64x$. Si sustituimos $x$ por $\varphi(x)$, obtenemos que $f(\varphi(x))^2\cdot f(x)=64\varphi(x)$, con lo cual tenemos el sistema \[\left\{\begin{array}{l}f(x)^2f(\varphi(x))=64x,\\f(\varphi(x))^2 f(x)=64\varphi(x).\end{array}\right.\] Elevando la primera igualdad al cuadrado y dividiéndola por la segunda (que no se anula ya que $x\neq\pm 1$, luego $\varphi(x)\neq 0$) llegamos a que $f(x)^3=64\frac{x^2}{\varphi(x)}$, de donde podemos despejar \[f(x)=\sqrt[3]{\frac{64x^2}{\varphi(x)}}=4\sqrt[3]{\frac{x^2(1+x)}{1-x}}.\] Puede comprobarse que esta función está bien definida para $x\neq-1$ y satisface la igualdad del enunciado, luego es la única solución al problema.