Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Probando con los números $1$ y $-1$, podemos encontrar fácilmente las soluciones $(1,-1,1)$ y $(-1,-1,-1)$. Probaremos que son las únicas y, para ello, comenzaremos viendo que cualquier solución $(x,y,z)$ cumple que $y=-1$.

En efecto, si $y\gt -1$, en la primera ecuación tendríamos que $x\gt z$ y en la tercera que $x\lt z$, lo que nos lleva a una contradicción. Si ocurriera que $y\lt -1$, tendríamos que de la primera ecuación $x-z=-1-y\gt 0$ y, de la tercera, que $-x^3+z^3=-1-y^3\gt 0$, luego volvemos a caer en la misma contradicción. Deducimos entonces que $y=-1$.

Sustituyendo $y=-1$, tenemos que $x=z$ en la primera ecuación y $x^2+z^2=2$ en la segunda, luego $x=z=\pm 1$, de donde obtenemos las soluciones propuestas anteriormente. Observemos que ambas cumplen la tercera ecuación luego son las únicas soluciones.

Solución. Tenemos una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}_0$ cumpliendo las propiedades del enunciado. Por un lado, tenemos que $0=f(10)=f(2)+f(5)$, luego $f(2)=f(5)=0$ ya que ambos números son no negativos. Por tanto, se tiene que $f(1985)=f(5\cdot 397)=f(5)+f(397)=f(397)$. Por otro lado, las propiedades del enunciado nos dicen que \[0=f(3573)=f(3\cdot 3\cdot 397)=f(3)+f(3)+f(397)=f(397)\] ya que tanto $3573$ como $3$ tienen la cifra de las unidades igual a $3$. De aquí deducimos que $f(1985)=0$.

Solución. Consideremos la función auxiliar \[\varphi:\mathbb{R}-\{-1,0,1\}\to\mathbb{R}-\{-1,0,1\},\qquad\varphi(x)=\frac{1-x}{1+x},\] que cumple que $\varphi(\varphi(x))=x$.

La ecuación inicial se puede escribir como $f(x)^2f(\varphi(x))=64x$. Si sustituimos $x$ por $\varphi(x)$, obtenemos que $f(\varphi(x))^2\cdot f(x)=64\varphi(x)$, con lo cual tenemos el sistema \[\left\{\begin{array}{l}f(x)^2f(\varphi(x))=64x,\\f(\varphi(x))^2 f(x)=64\varphi(x).\end{array}\right.\] Elevando la primera igualdad al cuadrado y dividiéndola por la segunda (que no se anula ya que $x\neq\pm 1$, luego $\varphi(x)\neq 0$) llegamos a que $f(x)^3=64\frac{x^2}{\varphi(x)}$, de donde podemos despejar \[f(x)=\sqrt[3]{\frac{64x^2}{\varphi(x)}}=4\sqrt[3]{\frac{x^2(1+x)}{1-x}}.\] Puede comprobarse que esta función está bien definida para $x\neq-1$ y satisface la igualdad del enunciado, luego es la única solución al problema.

Solución. Supongamos que $\{a,a+1,a+2,\ldots,a+m\}$ es un conjunto de números naturales consecutivos tales que su suma $S$ es igual a $1999$. Usando la fórmula de los términos de una progresión aritmética, podemos calcular \begin{eqnarray} S=a+(a+1)+\cdots+(a+m)&=&(m+1)\cdot a+(1+2+\cdots+m)\\ &=&(m+1)\cdot a+\frac{m(m+1)}{2}. \end{eqnarray} Sacando factor común $m+1$ y quitando denominadores, llegamos a que $(m+1)(2a+m)=3998$. La descomposición en factores primos de $3998$ es $2\cdot 1999$ ya que $1999$ es primo. Además, $m+1$ es un número positivo, luego tenemos las siguientes posibilidades:

• $m+1=1$ y $2a+m=3998$, en cuyo caso $m=0$ y $a=1999$.
• $m+1=2$ y $2a+m=1999$, en cuyo caso $m=1$ y $a=999$.
• $m+1=1999$ y $2a+m=2$, lo que nos lleva a un valor negativo de $a$.
• $m+1=3998$ y $2a+m=1$, que también nos lleva a un valor negativo de $a$.

Deducimos que las únicas sucesiones que cumplen el enunciado son la que tiene por único elemento al número $1999$ y la formada por los números $999$ y $1000$.

Solución. Observemos que, para cada \(n\in\mathbb{N}\), podemos expresar \[4-\frac{2}{n}=\frac{4n-2}{n}=\frac{2n(2n-1)}{n^2},\] luego el producto del enunciado es igual a \[\frac{(2\cdot 1)(4\cdot 3)(6\cdot 5)\cdots(4022\cdot 4021)}{1^2\cdot 2^2\cdot 3^2\cdots 2011^2}=\frac{4022!}{2011!\cdot 2011!}=\left(\begin{matrix}4022\\2011\end{matrix}\right),\] que es un número combinatorio y, por tanto, un número natural.