Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $a=\sqrt[4]{97-x}$ y $b=\sqrt[4]{x}$ luego sabemos que $a+b=5$ y $a^4+b^4=97$, sistema que pasamos a resolver. Por un lado, tenemos que $25=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$, de donde $a^2+b^2=25-2ab$ luego podemos calcular \[625=(a+b)^4=a^4+b^4+4ab(a^2+b^2)+6a^2b^2=97+100ab-8a^2b^2+6a^2b^2\] luego $a^2b^2-50ab+264=0$. Aquí podemos despejar $ab$ usando la fórmula de las soluciones de la ecuación de segundo grado y obtenemos que $ab=6$ ó $ab=44$. Si $ab=6$, entonces tenemos el sistema $a+b=5$, $ab=6$, que tiene por soluciones $(a,b)=(2,3)$ y $(a,b)=(3,2)$ y, como $x=b^4$, tenemos las posibles soluciones $x=16$ y $x=81$. En el caso $ab=44$, tenemos el sistema $a+b=5$, $ab=44$, que no tiene soluciones reales. Comprobamos $x=16$ y $x=81$ en la ecuación inicial y deducimos que éstas son las únicas dos soluciones.

Solución. Llamemos $d$ a la diferencia de la progresión aritmética y supongamos que $a^2$ es un término de la sucesión. Entonces, $(a+d)^2=a^2+(2a+d)d$ también es un término de la sucesión (pues es el término $a^2$ al que se le ha sumado un múltiplo entero de $d$) lo que nos dice que, dado un cuadrado perfecto en la sucesión podemos encontrar otro mayor que éste luego ha de haber infinitos cuadrados perfectos.

Solución. Si denotamos por $\{a_1,\ldots,a_{100}\}$ a los términos de la sucesión, entonces podemos escribir $a_k=a_1+(k-1)d$ donde $d$ es la diferencia de la progresión aritmética. Las condición sobre la suma de los términos se traduce en \begin{align*} -1=a_1+a_2+\ldots+a_{100}&=a_1^2+(a_1+d)+\ldots+(a_1+99d)\\ &=100a_1+(1+2+\ldots+99)d=100a_1+4950d \end{align*} y la condición sobre suma de los términos pares se traduce en \begin{align*} 1=a_2+a_4+\ldots+a_{100}&=(a_1+d)+(a_1+3d)+\ldots+(a_1+99d)\\ &=50a_1+(1+3+\ldots+99)d=50a_1+2500d. \end{align*} Tenemos así un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $a_1$ y $d$, que tiene por solución única $d=\frac{3}{50}$ y $a_1=\frac{-149}{50}$. Vamos a usar esto para calcular la suma de los cuadrados: \begin{align*} a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{100}^2&=a_1^2+(a_1+d)^2+\ldots+(a_1+99d)^2\\ &=100a_1^2+2(1+2+\ldots+99)a_1d+(1^2+2^2+\ldots+99^2)d^2\\ &=100a_1^2+9900a_1d+328350=\frac{14999}{50}. \end{align*}

Nota. En los cálculos anteriores, hemos usado las fórmulas conocidas para la suma de los $n$ primeros naturales, impares y cuadrados: \[1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2},\qquad 1+3+\ldots+(2n-1)=n^2,\] \[1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

Solución. Observemos que podemos escribir $a_n=\frac{7}{9}(10^n-1)$ luego, sacando factor común $\frac{7}{9}$, la suma buscada vale \[S_n=\frac{7}{9}(10+10^2+\ldots+10^n-n)=\frac{7}{9}\left(\frac{10^{n+1}-10}{10-1}-n\right)=\frac{7}{81}(10^{n+1}-9n-10)\] donde se ha usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica.

Solución. Haciendo $x=y$, tenemos que $2xf(x)=f(x^2)+x^2-f(0)$ y, como el miembro de la derecha es par, el de la izquierda también debe serlo, de donde deducimos que $f$ es impar. Si consideramos la función impar $g(x)=f(x)-x$ y sustituimos $f(x)=g(x)+x$ en la ecuación original, llegamos a que $g$ cumple la ecuación funcional $g((x-y)^2)=g(x)^2+2xg(x)-2xg(y)$. Haciendo $x=0$ en esta última ecuación, tenemos que $g(y^2)=g(0)^2$ para todo $y\in\mathbb{R}$, es decir, $g$ es constante en el intervalo $[0,\infty)$ y, como es impar, es constante en todo $\mathbb{R}$, pongamos $g(x)=a$ para cierto $a\in\mathbb{R}$ y, en sustituyendo en la ecuación funcional de $g$, se cumple que $a=a^2$ luego $a=0$ ó $a=1$. Deshaciendo ahora el cambio de función, las únicas posibles soluciones para $f$ son $f(x)=x$ y $f(x)=x+1$ y es fácil comprobar que ambas cumplen la ecuación del enunciado.