Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar los valores enteros positivos de $m$ para los que existe una función $f$ del conjunto de los números enteros en sí mismo tal que $f^m(n)=n+2017$.

Nota. La función $f^m$ consiste en aplicar $m$ veces sucesivas la función $f$.

Encontrar todas las soluciones enteras positivas de \[\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b+c-2}=1.\]

Se considera la función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ definida para $n\geq 0$ como sigue: \[f(n)=\begin{cases}-f(\frac{n}{2})&\text{si }n\text{ es par},\\ f(n-1)+1&\text{si }n\text{ es impar.}\end{cases}\]

1. Demostrar que $f(n)$ es múltiplo de $3$ si, y solo si, $n$ es múltiplo de $3$.
2. Hallar el menor número n que cumple $f(n) = 2017$.

Encontrar todas las soluciones reales positivas del sistema de ecuaciones \[x=\frac{1}{y^2+y-1},\qquad y=\frac{1}{z^2+z-1},\qquad z=\frac{1}{x^2+x-1}.\]

Se tienen dos progresiones de números reales, una aritmética $\{a_n\}_{n\geq 1}$ y otra geométrica $\{g_n\}_{n\geq 1}$ no constante. Se verifica que $a_1=g_1\neq 0$, $a_2=g_2$ y $a_{10}=g_3$. Estudiar si, para cada entero positivo $p$, existe un entero positivo $m$ tal que $g_p=a_m$.