Con baldosas cuadradas de lado un número exacto de unidades se ha podido
embaldosar una habitación de superficie $18144$ unidades cuadradas de la
siguiente manera: el primer día se puso una baldosa, el segundo dos baldosas,
el tercero tres, etc. ¿Cuántas baldosas fueron necesarias?
Solución. Supongamos que las baldosas cuadradas tienen dimensiones $n\times n$. El primer día se cubren $n^2$ unidades cuadradas, el segundo $2n^2$, el tercero $3n^2$, y así sucesivamente hasta el $k$-ésimo día en que se cubren $kn^2$. De esta forma, el problema equivale a la ecuación
\[(1+2+\ldots+k)n^2=18144=2^5\cdot 3^4\cdot 7.\]
Como $1+2+\ldots+k=\frac{1}{2}k(k+1)$, esto equivale a
\[k(k+1)n^2=2^6\cdot 3^4\cdot 7.\]
Vistos los exponentes y que $k$ o $k+1$ son pares, sólo hay unas pocas posibilidades para el factor $n^2$:
- Si $n^2=1$, la ecuación queda $k^2+k=36288$.
- Si $n^2=2^2$, la ecuación queda $k^2+k=9072$.
- Si $n^2=2^4$, la ecuación queda $k^2+k=2268$.
- Si $n^2=3^2$, la ecuación queda $k^2+k=4032$.
- Si $n^2=2^2\cdot 3^2$, la ecuación queda $k^2+k=1008$.
- Si $n^2=2^4\cdot 3^2$, la ecuación queda $k^2+k=112$.
- Si $n^2=3^4$, la ecuación queda $k^2+k=448$.
- Si $n^2=2^2\cdot 3^4$, la ecuación queda $k^2+k=112$.
- Si $n^2=2^4\cdot 3^4$, la ecuación queda $k^2+k=28$.
De todas estas ecuaciones, la única que tiene solución entera es para $n^2=3^2=9$, en la que tenemos que $k=63$ es la única solución positiva. Por tanto, fueron necesarias $\frac{1}{2}k(k+1)=2016$ de tamaño $3\times 3$.
Nota. ¿Se te ocurre alguna forma de descartar alguno de los nueve casos sin tener que resolver la ecuación de segundo grado?