Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Despejando $2y=z-x$ en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos que \[310=x^2-(2y)^2+z^2=x^2-(z-x)^2+z^2=2xz,\] luego $xz=155$. Podemos factorizar $155=5\cdot 31$, lo que nos da muy pocas opciones para el par $(x,z)$. Además, tenemos que $2y=z-x$, luego tiene que ser $z\gt x$ ya que $y$ debe ser un entero positivo:

• Si $(x,z)=(1,155)$, entonces $y=77$ y $xyz=11935$.
• Si $(x,z)=(5,31)$, entonces $y=13$ y $xyz=2015$ (¡el año!).

Se comprueba fácilmente que las anteriores son soluciones, luego los posibles valores de $xyz$ son $2015$ y $11935$.

Solución. Podemos considerar el problema de cuándo se cortan las gráficas de las funciones $y=\sqrt{2-x^2}$ e $y=\sqrt[3]{3-x^3}$ y esto a su vez nos lleva a considerar el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=2,\\x^3+y^3=3.\end{array}\right.\] Veremos que el sistema no tiene solución y, por tanto, la ecuación del enunciado tampoco. Por reducción al absurdo, imaginemos que $(x,y)$ es una solución y distinguimos dos casos según el signo de $x$:

• Si $x\leq 0$, por un lado tenemos que $y^3=3-x^3\geq 3$, luego $y\geq\sqrt[3]{3}$ y, por otro lado, $y^2=2-x^2\leq 2$ implica que $y\leq\sqrt{2}$, luego se cumpliría que $\sqrt[3]{3}\leq y\leq\sqrt{2}$. Esto es una contradicción ya que la realidad es que $\sqrt{2}\lt\sqrt[3]{3}$ (¿sabrías demostrarlo sin usar calculadora?).
• Si $x\geq 0$, entonces $x\leq\sqrt{2}$, luego $y^3=3-x^3\geq 3-2\sqrt{2}\geq 0$, es decir, $y$ tampoco es negativo. Desarrollamos \begin{align*} (x^2+y^2)^3-(x^3+y^3)^2&=x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6-x^6-2x^3y^3-y^6\\ &=x^2y^2(3x^2-2xy+3y^2)=x^2y^2(2x^2+(x-y)^2+2y^2)\geq 0. \end{align*} Como $x$ e $y$ no son negativos, deducimos que $(x^2+y^2)^{1/2}\geq (x^3+y^3)^{1/3}$ (ver la nota), lo que nos da $\sqrt{2}\geq\sqrt[3]{3}$, pero esto ya hemos dicho que es absurdo.

Recordemos que hemos probado así que la ecuación no tiene solución.

Nota. La desigualdad $(x^2+y^2)^3-(x^3+y^3)^2\geq 0$ es, en realidad, parte de la desigualdad entre normas $\ell^p$, que nos dice que, si $1\leq p\lt q$ y $x_1,x_2\ldots,x_n$ son números reales, entonces \[(|x_1|^q+|x_2|^q+\ldots+|x_n|^q)^{1/q}\leq (|x_1|^p+|x_2|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}.\] Aquí hemos dado una demostración ad hoc para $n=2$, $p=2$ y $q=3$.

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos dice que \[2^x\cdot 3^{5^{-x}}+\frac{3^{5^x}}{2^x}\geq 2\sqrt{3^{5^{-x}}\cdot 3^{5^x}}=2\sqrt{3^{5^{-x}+5^x}}\geq 2\sqrt{3^2}=6,\] donde también hemos usado que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual que $2$, luego $5^{-x}+5^x\geq 2$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Ahora bien, la igualdad en esta última desigualdad se alcanza si, y sólo si, $5^x=1$, lo que nos dice que la única solución posible es $x=0$. Comprobamos que efectivamente $x=0$ es solución, luego es la única.