Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos dice que \[2^x\cdot 3^{5^{-x}}+\frac{3^{5^x}}{2^x}\geq 2\sqrt{3^{5^{-x}}\cdot 3^{5^x}}=2\sqrt{3^{5^{-x}+5^x}}\geq 2\sqrt{3^2}=6,\] donde también hemos usado que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual que $2$, luego $5^{-x}+5^x\geq 2$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Ahora bien, la igualdad en esta última desigualdad se alcanza si, y sólo si, $5^x=1$, lo que nos dice que la única solución posible es $x=0$. Comprobamos que efectivamente $x=0$ es solución, luego es la única.

Solución. Aplicando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los números $2^{\mathrm{sen}^2(x)}$ y $2^{\cos^2(x)}$, tenemos que \[\frac{2^{\mathrm{sen}^2(x)}+2^{\cos^2(x)}}{2}\leq\sqrt{2^{\mathrm{sen}^2(x)+\cos^2(x)}}=\sqrt{2}.\] Por lo tanto, estamos buscando ángulos $x$ para los que se obtenga la igualdad en esta desigualdad, la cual es cierta cuando los dos números son iguales, es decir, $2^{\mathrm{sen}^2(x)}=2^{\cos^2(x)}$. Esto a su vez equivale a que $\mathrm{sen}^2(x)=\cos^2(x)$ y, dividiendo por $\cos^2(x)$, también equivale a $\mathrm{tg}(x)=\pm 1$. Por tanto, las soluciones de la ecuación son $x=45+90k$ para cualquier entero $k$. Dividiendo $2013$ entre $90$ obtenemos $2013=22\cdot 90+33$ (cociente $22$ y resto $33$), luego el valor más cercano por exceso es $22\cdot 90+45=2025^\circ$ y el valor más cercano por defecto es $21\cdot 90+45=1955^\circ$.

Solución. Podemos desarrollar (véase la nota): \begin{align*} S_N=\sum_{n=1}^N\frac{1}{a_n}&=\sum_{n=1}^N\frac{4n^2}{4n^2-1}=\sum_{n=1}^N\left(1-\frac{1}{4n^2-1}\right)\\ &=N-\sum_{n=1}^N\frac{1}{4n^2-1}=N-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). \end{align*} La última suma es telescópica, es decir, se suman y se restan términos que se cancelan entre sumandos consecutivos. Concretamente, tenemos que \begin{align*}\sum_{n=1}^N\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)&=\left(1-\tfrac{1}{3}\right)+\left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\right)+\left(\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{7}\right)+\ldots+\left(\tfrac{1}{2N-1}-\tfrac{1}{2N+1}\right)\\ &=1-\frac{1}{2N+1}=\frac{2N}{2N+1}. \end{align*} De esta forma, podemos calcular \[S_N=N-\frac{1}{2}\cdot\frac{2N}{2N+1}=\frac{2N^2}{2N+1}.\] Por lo tanto, para $N=2013$ obtenemos la suma deseada: $\frac{2\cdot 2013^2}{2027}$.

Nota. Puede parecer un poco mágica la transformación que se hace de la suma original, pero responde a un esquema general similar al proceso de integración de funciones racionales. Esta técnica funciona siempre que se pueda factorizar el denominador con raíces simples racionales.

En primer lugar, se divide numerador entre el denominador para que el grado del denominador sea mayor que el del numerador, lo que nos da \[\frac{4n^2}{4n^2-1}=\frac{4n^2-1+1}{4n^2-1}=1-\frac{1}{4n^2-1}.\] En segundo lugar, visto que $4n^2-1=(2n-1)(2n+1)$, intentamos expresar \[\frac{1}{4n^2-1}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}\ \Leftrightarrow\ 1=(2n+1)A+(2n-1)B\] para ciertas constantes $A,B\in\mathbb{R}$. Para que esta última igualdad entre polinomios sea cierta, se tiene que $A+B=0$ (término en $n$) y $A-B=1$ (término independiente). Por tanto, se sigue que $A=\frac{1}{2}$ y $B=-\frac{1}{2}$.