Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observemos que $x^2+x=x(x+1)$ y que $x$ y $x+1$ no tienen factores comunes. Por tanto, cualquier factor primo de $y$ es factor de $x$ o de $x+1$, pero no de ambos. De esta forma, tanto $x$ como $x+1$ tienen que ser potencias $k$-ésimas de números enteros. Las únicas potencias $k$-ésimas positivas que difieren en una unidad son $0$ y $1$, a las que también hay que añadir $-1$ y $0$ si $k$ es impar. Deducimos que $x=0$ o $x=-1$, lo que nos da como únicas soluciones $(x,y)=(0,0)$ y $(x,y)=(-1,0)$, que son válidas para cualquier entero $k\gt 1$, como puede comprobarse fácilmente.

Solución. Llamando $y=f(x)$, tenemos la ecuación $x+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{y}$ en la incógnita $y$, que no es más que la ecuación de segundo grado $y^2-(x+\frac{1}{x})y+1=0$ (podemos multiplicar por $y$ puesto que $y\neq 0$). Sus soluciones son \[f(x)=y=\frac{-(x+\frac{1}{x})\pm\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-4}}{2}=\frac{-(x+\frac{1}{x})\pm(x-\frac{1}{x})}{2},\] lo que nos dice que $f(x)=x$ o bien $f(x)=\frac{1}{x}$ para cada $x\in\mathbb{R}^+$. Ahora bien, podría elegirse $f(x)=x$ para algunos valores de $x$ y $f(x)=\frac{1}{x}$ para otros, pero nos piden que la función $f$ sea continua. Las gráficas $y=x$ e $y=\frac{1}{x}$ se cortan únicamente en $x=1$, luego la continuidad nos dice tenemos que elegir una de las dos para todos los $x\in(0,1]$ y una de las dos para todos los $x\in[1,+\infty)$. Tenemos así cuatro soluciones: \begin{align*} f(x)&=x \text{ para todo }x>0,&f(x)&=\frac{1}{x}\text{ para todo }x>0,\\ f(x)&=\begin{cases}x&\text{si }0\lt x\leq 1,\\\frac{1}{x}&\text{si }x\gt 1,\end{cases}& f(x)&=\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{si }0\lt x\leq 1,\\x&\text{si }x\gt 1.\end{cases} \end{align*}

Solución. Los enteros positivos que no son múltiplos de $2$ ni de $5$ son aquellos cuyo dígito de las unidades es $1,3,7,9$. Hay exactamente $n$ números menores que $10n$ con dígito de las unidades un $j$ dado, a saber: \[j,10+j,20+j,\ldots 10(n-1)+j.\] La suma de estos $n$ números es \[10(1+2+\ldots+(n-1))+nj=5n(n-1)+nj=5n^2+(j-5)n.\] Por tanto, la suma que estamos buscando es \[5n^2+(1-5)n+5n^2+(3-5)n+5n^2+(7-5)n+5n^2+(9-5)n=20n^2.\]