Hallar todas las funciones reales continuas $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ que cumplen, para todo real positivo $x\in\mathbb{R}^+$, la condición
\[x+\frac{1}{x}=f(x)+\frac{1}{f(x)}\]
Solución. Llamando $y=f(x)$, tenemos la ecuación $x+\frac{1}{x}=y+\frac{1}{y}$ en la incógnita $y$, que no es más que la ecuación de segundo grado $y^2-(x+\frac{1}{x})y+1=0$ (podemos multiplicar por $y$ puesto que $y\neq 0$). Sus soluciones son
\[f(x)=y=\frac{-(x+\frac{1}{x})\pm\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-4}}{2}=\frac{-(x+\frac{1}{x})\pm(x-\frac{1}{x})}{2},\]
lo que nos dice que $f(x)=x$ o bien $f(x)=\frac{1}{x}$ para cada $x\in\mathbb{R}^+$. Ahora bien, podría elegirse $f(x)=x$ para algunos valores de $x$ y $f(x)=\frac{1}{x}$ para otros, pero nos piden que la función $f$ sea continua. Las gráficas $y=x$ e $y=\frac{1}{x}$ se cortan únicamente en $x=1$, luego la continuidad nos dice tenemos que elegir una de las dos para todos los $x\in(0,1]$ y una de las dos para todos los $x\in[1,+\infty)$. Tenemos así cuatro soluciones:
\begin{align*}
f(x)&=x \text{ para todo }x>0,&f(x)&=\frac{1}{x}\text{ para todo }x>0,\\
f(x)&=\begin{cases}x&\text{si }0\lt x\leq 1,\\\frac{1}{x}&\text{si }x\gt 1,\end{cases}& f(x)&=\begin{cases}\frac{1}{x}&\text{si }0\lt x\leq 1,\\x&\text{si }x\gt 1.\end{cases}
\end{align*}