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Nota. Hemos usado el hecho muy conocido de que si $a$ y $n$ son números naturales y $\sqrt[n]{a}$ es racional, entonces $a$ es la potencia $n$-ésima de un entero. Esto se demuestra fácilmente escribiendo $\sqrt[n]{a}=\frac{r}{s}$ equivalentemente como $s^na=r^n$. Si ahora miramos en esta última ecuación el exponente de cualquier primo, el exponente en $a$ tiene que ser múltiplo de $n$.
Nota. Aquí, $\mathbb{N}_0$ denota el conjunto de los números naturales incluyendo el cero. La función $f$ es creciente cuando $f(n)\geq f(m)$ siempre que $n\gt m$.
Tomando $m,n\geq n_0$, se tiene que $mn\geq n_0$, luego \[amn+b=f(mn)=f(n)+f(m)=a(m+n)+2b.\] Como esta igualdad se cumple para infinitos valores de $m$ y $n$, tiene que ser $a=b=0$, es decir $f(n)=0$ para todo $n\geq n_0$. El problema ya está casi listo porque, por un lado, $f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)+f(1)$ nos dice que $f(1)=0$ y, por otro lado, $f(2^r)=rf(2)$ tiene que ser cero para $r$ suficientemente grande tal que $2^r\gt n_0$, luego $f(2)$. Al ser $f(2)-f(1)=0$, tenemos que $f(n+1)=f(n)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y, por tanto, $f$ es la función constante $0$ (se comprueba trivialmente que cumple las condiciones del enunciado).