Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos dice que \begin{align*} \frac{3^{x^2-x-y}+3^{y^2-y-z}+3^{z^2-z-x}}{3}&\geq\sqrt[3]{3^{x^2-x-y}\cdot 3^{y^2-y-z}\cdot 3^{z^2-z-x}}\\ &=3^{\frac{x^2-2x+y^2-2y+z^2-2z}{3}}=3^{\frac{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3}{3}}\\ &=\tfrac{1}{3}\cdot 3^{\frac{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}{3}}\geq \frac{1}{3}. \end{align*} Por lo tanto, $3^{x^2-x-y}+3^{y^2-y-z}+3^{z^2-z-x}\geq 1$ para todo $x,y,z\in\mathbb{R}$ y, si la igualdad se alcanza, tiene que ser $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0$, es decir, $x=y=z=1$. Como $x=y=z=1$ verifica la ecuación del enunciado, deducimos que esta es la única solución.

Nota. Las exponenciales pueden ocultar la aplicación de la desigualdad entre las medias aritmética-geométrica, pero una solución similar se tiene aplicando la desigualdade de Jensen a la función convexa $f(t)=3^t$. ¿Sabrías escribir los detalles?

Solución. Consideremos la función \[f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(t)=\sqrt[3]{6t^2-12t+8},\] con la que el problema se reduce encontrar $x,y,z\in\mathbb{R}$ tales que $y=f(x)$, $z=f(y)$ y $x=f(z)$, es decir, empezando en $x$ queremos volver a obtener $x$ tras aplicar tres veces la función. Observemos que tiene que ser $x\geq\sqrt[3]{2}$ ya que se debe cumplir que $x^3=6z^2-12z+8=6(z-1)^2+2\geq 2$. También tenemos que $f(x)=x$ se traduce en que $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8=0$, luego $x=2$ es el único valor que cumple $f(x)=x$. Distingamos casos:

• Si $\sqrt[3]{2}\leq x\lt 2$, entonces $(x-2)^3\leq 0$, luego $x^3\lt 6x^2+12x-8$ y, tomando raíces cúbicas, $x\lt f(x)$. Además, se tiene que $f(x)^3=6(x-1)^2+2\leq 6(2-1)+2=8$ (ya que esta parábola tiene su máximo en el $x=2$, el punto del intervalo $[\sqrt[3]{2},2]$ más alejado del vértice $x=1$). Deducimos que en este caso se cumple que \[\sqrt[3]{2}\leq x\lt f(x)\lt 2,\] luego no existen $y,z\in\mathbb{R}$ tales que $y=f(x)$, $z=f(y)$ y $x=f(z)$ puesto que tendríamos que $x\lt f(x)= y\lt f(y)= z\lt f(z)= x$ y esto es contradictorio.
• Si $x\gt 2$, el razonamiento es parecido pero un poco más sencillo. Como en este caso $(x-2)^3\gt 2$, obtenemos directamente que $x^3\lt 6x^2-12x+8$ y, por tanto, $f(x)\gt x\gt 2$, lo que impide también la existencia de $y,z\in\mathbb{R}$ tales que $y=f(x)$, $z=f(y)$ y $x=f(z)$.

La única posibilidad que nos queda es $x=2$, que nos da $y=f(x)=f(2)=2$ y $z=f(y)=f(2)=2$. En consecuencia, $x=y=z=2$ es la única solución del sistema.