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Nota. Las exponenciales pueden ocultar la aplicación de la desigualdad entre las medias aritmética-geométrica, pero una solución similar se tiene aplicando la desigualdade de Jensen a la función convexa $f(t)=3^t$. ¿Sabrías escribir los detalles?
La única posibilidad que nos queda es $x=2$, que nos da $y=f(x)=f(2)=2$ y $z=f(y)=f(2)=2$. En consecuencia, $x=y=z=2$ es la única solución del sistema.
Esto nos da un total de seis soluciones al sistema.
Nota. En los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas que son polinómicos y simétricos (cambiar $x$ por $y$ no afecta al sistema), cambiar a la suma-producto suele simplificar la discusión. En cualquier caso, es muy importante saber que tener la suma y el producto equivale a tener las dos incógnitas a través de la ecuación de segundo grado.
Nota. Este argumento nos dice que todos los números reales que cumplen la condición dada son los que cumplen $a^2=2b^2$, es decir $a=\pm\sqrt{2}b$. Observemos que, para estos números, no se anula el denominador $a^4-2b^4$.