Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Desarrollamos \[\left(x+\tfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}=2+7=9,\] por lo que se tiene que $x+\frac{1}{x}=3$ (por ser $x$ positivo). Vamos entonces calcular otras potencias de $x+\frac{1}{x}$ utilizando el binomio de Newton. Por un lado, tenemos que \[27=\left(x+\tfrac{1}{x}\right)^3=x^3+3x+\tfrac{3}{x}+\tfrac{1}{x^3}=\left(x^3+\tfrac{1}{x^3}\right)+3\left(x+\tfrac{1}{x}\right)\] nos permite despejar $x^3+\frac{1}{x^3}=27-3\cdot 3=18$. Por otro lado, de \begin{align*} 243=3^5=\left(x+\tfrac{1}{x}\right)^5&=x^5+5x^3+10x+\tfrac{10}{x}+\tfrac{5}{x^3}+\tfrac{1}{x^5}\\ &=\left(x^5+\tfrac{1}{x^5}\right)+5\left(x^3+\tfrac{1}{x^3}\right)+10\left(x+\tfrac{1}{x}\right) \end{align*} podemos despejar $x^5+\tfrac{1}{x^5}=243-5\cdot 18-10\cdot 3=123$.

Solución. Podemos resolver la ecuación como la bicuadrada $x^4-7x^2+1=0$, lo que nos da $x^2=\frac{1}{2}(7\pm 3\sqrt{5})$, que es un número positivo para ambos signos. Vamos a ver que las soluciones son de la forma $x=a+b\sqrt{5}$ para ciertos números racionales $a,b\in\mathbb{Q}$, para lo que expresamos \[(a^2+5b^2)+2ab\sqrt{5}=\left(a+b\sqrt{5}\right)^2=\frac{1}{2}(7\pm 3\sqrt{5})\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}a^2+5b^2=\tfrac{7}{2}\\2ab=\tfrac{3}{2}\end{cases}.\] Este sistema puede resolverse dando $a=\pm\frac{3}{2}$ y $b=\pm\frac{1}{2}$, lo que nos da las dos soluciones positivas a la ecuación original, correspondientes a tomar $a$ positivo: \[x_1=\tfrac{1}{2}\left(3+\sqrt{5}\right),\qquad x_2=\tfrac{1}{2}\left(3-\sqrt{5}\right).\] Además, se cumple que $\frac{1}{x_1}=x_2$, por lo que, independientemente de cuál de ellas tomemos, llamémosla $x$, se tiene que \begin{align*} x^5+\frac{1}{x^5}&=x_1^5+x_2^5=\frac{(3+\sqrt{5})^5}{2^5}+\frac{(3+\sqrt{5})^5}{2^5}. \end{align*} Al desarrollar ambas potencias por el binomio de Newton los términos con $\sqrt{5}$ se cancelan (podemos omitirlos) y los términos sin $\sqrt{5}$ se duplican, luego queda un número racional, que de hecho es entero: \begin{align*} x^5+\frac{1}{x^5}&=2\cdot \frac{3^5+10\cdot 5\cdot 3^3+5\cdot 5^2\cdot 3}{2^5}=123. \end{align*}

Nota. Se trata de una ecuación con un polinomio simétrico, luego sabemos que si $\alpha$ es una solución, también lo es $\frac{1}{\alpha}$. Esto puede dar algunas pistas. La solución 1 requiere menos habilidad de cálculo algebraico pero esta solución es la vieja confiable: resolver y sustituir.