Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observamos que tiene que ser $x\gt 0$ ya que el miembro de la izquierda no puede ser negativo, luego $x\geq 1$ para que la segunda raíz esté definida. Dividiendo entre $x$ ambos miembros y escribiendo $t=\frac{1}{x^2}$, la ecuación se reescribe como \[\sqrt{1-pt}+2\sqrt{1-t}=1.\] Si llamamos $y=\sqrt{1-pt}$ y $z=\sqrt{1-t}$, podemos reescribirlo de nuevo como el sistema \[\left\{\begin{array}{l}y+2z=1\\y^2-pz^2=1-p\end{array}.\right.\] Despejamos $y=1-2z$ en la primera ecuación y sustituimos en la segunda, lo que nos da una ecuación de segundo grado en $z$: \[(1-2z)^2-pz^2=1-p\ \Longleftrightarrow\ 4z^2-(p+4)z+p=0.\] Esta ecuación tiene soluciones $z=1$ y $z=\frac{p}{4-p}$. La primera hay que descartarla ya que nos lleva a que $\frac{1}{x^2}=t=0$, que no tiene soluciones. Para $z=\frac{p}{4-p}$, podemos despejar \[\frac{1}{x^2}=t=1-z^2=1-\frac{p^2}{(4-p)^2}=\frac{8(2-p)}{(4-p)^2}.\] Por tanto, tiene que ser $p\leq 2$, lo que nos da la única candidata a solución: \[x=\frac{4-p}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}.\] Comprobamos ahora si cumple la condición: \[\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\frac{(4-3p)^2}{8(2-p)}}+2\sqrt{\frac{p^2}{8(2-p)}}=\frac{|4-3p|+2|p|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}.\] La única forma de que el numerador anterior sea igual a $4-p$ (para que el resultado de la operación sea $x$), es que $4-3p\geq 0$ y $p\geq 0$, lo que nos dice que la ecuación tiene solución si y sólo si $0\leq p\leq \frac{4}{3}$, en cuyo caso la solución es única.

Nota. Otra forma de ver la existencia y unicidad de solución (aunque no de calcularla) es usar el teorema de Bolzano. La función $f(t)=\sqrt{1-pt}+2\sqrt{1-t}-1$ es continua y estrictamente decreciente. Nos interesa su valor en $[0,\min\{1,\frac{1}{p}\}]$. Tenemos que $f(0)=2\gt 0$. Si $p\geq 1$, entonces evaluamos $f(\frac{1}{p})=2\sqrt{1-\frac{1}{p}}-1$, que es negativo si y sólo si $p\leq\frac{4}{3}$. Si $p\leq 1$, entonces $f(1)=\sqrt{1-p}-1$ es negativo siempre que $p\gt 0$. En resumen, tenemos que $0\leq p\leq \frac{4}{3}$ y que la solución es única.

Solución. Al quitar la región debe quedar un número de días múltiplo de cuatro, de forma que puedan dividirse de forma exacta en proporción 3 a 1. Comprobamos fácilmente (solo hay que mirar las dos últimas cifras) que \begin{align*} 336&\equiv 0\ (\text{mod }4),& 321&\equiv 1\ (\text{mod }4),& 335&\equiv 3\ (\text{mod }4),\\ 343&\equiv 3\ (\text{mod }4),& 329&\equiv 1\ (\text{mod }4),& 330&\equiv 2\ (\text{mod }4). \end{align*} La única forma de quitar uno de los días y que quede múltiplo de cuatro es quitar la región F, lo que nos da la respuesta al problema.

Nota. En realidad, el argumento no prueba que el número de días lluviosos es la tercera parte del de soleados, sino que se basa en que la persona encargada sabe que esto ocurre para alguna región. Hemos visto que solo puede ser la F.