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La base de datos contiene 1154 problemas y 775 soluciones.
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Problema 674
OME Local, 2001-P2
El encargado del faro de Finisterre ha recibido la comunicación de que va a haber un corte del suministro eléctrico y debe hacer funcionar el faro con ayuda del generador alimentado con gasóleo. Ese generador consume 6 litros de gasóleo cada hora y medio litro más cada vez que hay que ponerlo en marcha (inicialmente, está parado). En las 10 horas exactas que durará la noche, el faro no puede dejar de funcionar durante más de 10 minutos seguidos. Y cuando funciona tiene que hacerlo durante al menos 15 minutos seguidos. ¿Cuántos litros de gasóleo necesita, como mínimo, para cumplir con las normas de funcionamiento del faro?
pistasolución 1info
Pista. ¿Cómo colocarías períodos de 10 minutos parando y 15 minutos funcionando para minimizar la cantidad de gasóleo? Piensa dos veces.
Solución. Observemos que el coste de arrancar es el mismo que el de funcionar durante 5 minutos, por lo que parar durante 10 minutos y luego arrancar ahorra 5 minutos de funcionamiento. Siguiendo un esquema voraz, la configuración óptima debe hacer parar durante 10 minutos el mayor número de veces posible. Con la restricción de que debe funcionar al menos 15 minutos seguidos, los $600=24\cdot (10+15)$ minutos totales darán una configuración óptima cuando haya 24 períodos de parada. Este razonamiento es muy sencillo, si bien la parte complicada es ahora minimizar el número de arranques, lo que nos dará la configuración óptima.

Si se intercalan ciclos de parada-arranque, como cada ciclo necesita 2 litros de gasóleo (medio litro en los 10 minutos que para y arranca y litro y medio en los 15 minutos que funciona), esta opción nos da un total de $24\cdot 2=48$ litros de gasóleo. Podemos mover uno de los ciclos de parada al final para evitar arrancar una vez, es decir, durante los últimos 40 minutos de las 10 horas, en lugar de hacer funcionamiento-parada-funcionamiento, podríamos hacer funcionamiento-funcionamiento-parada. De esta forma, solo se usan 47,5 litros. Está claro que es imposible colocar los períodos de parada para arrancar menos veces.

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Problema 669
OIM, 1993-P3
Hallar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ que cumplen simultáneamente las siguientes dos condiciones:
  • Si $x\lt y$, entonces $f(x)\lt f(y)$.
  • $f(yf(x))= x^2 f(xy)$ para cualesquiera $x,y\in\mathbb{N}$.
Sin pistas
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Problema 662
OIM, 1991-P3
Sea $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función creciente tal que
  • $f(0)=0$,
  • $f(\frac{x}{3})=\frac{f(x)}{2}$,
  • $f(1-x)=1-f(x)$,
para todo $x\in[0,1]$. Hallar el valor de $f(\frac{18}{1991})$.
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Problema 655
OIM, 1989-P5
Sea $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ la función definida por \[f(1)=1,\qquad f(2n+1)=f(2n)+1,\qquad f(2n)=3f(n),\] para todo entero positivo $n\in\mathbb{N}$. Determinar el conjunto de valores que toma $f$.
pista
Sin soluciones
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Pista. ¿Qué relación hay entre la expresión de $n$ en base $2$ y la de $f(n)$ en base $3$?
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Problema 649
OME Andalucía, 2020-P4
Se considera una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ que verifica las siguientes propiedades:
  1. $f(2n) = f(2n + 1) + 1$,
  2. $f(2n + 1) f(2n + 2) = 4n^2 + 6n$,
  3. $f(2020) = 2021$.
Determina la expresión de $f$, esto es, $f(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$.
pistasolución 1info
Pista. Observa que $4n^2+6n=2n(2n+3)$ y asigna uno de los factores a $f(2n+1)$ y otro a $f(2n+2)$ para obtener una expresión (muy sencilla) para $f(n)$ distinguiendo si $n$ es par o impar. Luego solo hay que ver que hay una única función que cumple las tres condiciones (a), (b) y (c).
Solución. Observando la factorización $4n^2+6n=2n(2n+3)$, es muy fácil encontrar la siguiente función y ver que cumple las tres condiciones: $$f(n)=\begin{cases} n+1&\text{si }n\text{ es par,}\\ n-1&\text{si }n\text{ es impar.} \end{cases}$$ Vamos a probar que solo hay una función con las condiciones dadas, luego esta será la única. La condición (a) nos asegura que el valor de $f(n)$ para $n$ par determina los valores para $n$ impar. Además, nos permite reescribir las condiciones (b) y (c) como \[(f(2n)-1)f(2n+2)=4n^2+6n,\qquad f(2020)=2021.\] Está claro entonces que $f(2n)$ determina el valor de $f(2n+2)$ para todo $n\in\mathbb{N}$, luego $f(2020)$ determina el valor en todos los números pares mayores que $2020$. También $f(2n+2)$ determina el valor de $f(2n)$, luego $f(2020)$ determina el valor de $f$ en todos los pares menores que $2020$. Todo esto nos dice que hay una única función en esas condiciones.
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