Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observando la factorización $4n^2+6n=2n(2n+3)$, es muy fácil encontrar la siguiente función y ver que cumple las tres condiciones: $$f(n)=\begin{cases} n+1&\text{si }n\text{ es par,}\\ n-1&\text{si }n\text{ es impar.} \end{cases}$$ Vamos a probar que solo hay una función con las condiciones dadas, luego esta será la única. La condición (a) nos asegura que el valor de $f(n)$ para $n$ par determina los valores para $n$ impar. Además, nos permite reescribir las condiciones (b) y (c) como \[(f(2n)-1)f(2n+2)=4n^2+6n,\qquad f(2020)=2021.\] Está claro entonces que $f(2n)$ determina el valor de $f(2n+2)$ para todo $n\in\mathbb{N}$, luego $f(2020)$ determina el valor en todos los números pares mayores que $2020$. También $f(2n+2)$ determina el valor de $f(2n)$, luego $f(2020)$ determina el valor de $f$ en todos los pares menores que $2020$. Todo esto nos dice que hay una única función en esas condiciones.

Solución. Consideremos el punto $C=(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Veamos, por reducción al absurdo, que no hay dos puntos distintos de coordenadas enteras que equidisten de $C$. En efecto, si $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ fueran tales puntos, tendríamos que \[(x_1-\sqrt{2})^2+(y_1-\sqrt{3})^2=(x_2-\sqrt{2})^2+(y_2-\sqrt{3})^2.\] Desarrollando los cuadrados en esta igualdad, tenemos equivalentemente que \[2(x_2-x_1)\sqrt{2}+2(y_2-y_1)\sqrt{3}=x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2.\] Esto nos da una combinación de $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ con coeficientes enteros igual a otro número entero, lo cual solo es posible (ver la nota) si dichos coeficientes son cero, de donde deducimos que $x_1=y_1$ y $x_2=y_2$, en contra de que hemos supuesto que los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ son distintos.

Esto nos lleva a que las circunferencias de centro $C$ al aumentar el radio de $0$ a $+\infty$ van encontrando los puntos de coordenadas enteras de uno en uno. Por ello, deducimos que es posible encontrar circunferencias en cuyo interior hay cualquier número $n\geq 0$ de puntos de coordenadas enteras.

Nota. No es posible encontrar enteros no nulos $a,b\in\mathbb{Z}$ tales que $a\sqrt{2}=b$, ya que en tal caso $\sqrt{2}$ sería un número racional. De una forma similar, no es posible encontrar enteros no nulos $a,b,c\in\mathbb{Z}$ tales que $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=c$. Esto es un hecho conocido, pero vamos a demostrarlo. Observemos que, si esto es así, podemos suponer que $b\neq 0$, luego $r\sqrt{2}-s=\sqrt{3}$, donde $r=\frac{a}{c}$ y $s=\frac{b}{c}$ son racionales. Elevando al cuadrado esta expresión, tenemos que \[3=(r\sqrt{2}-s)^2=(2r^2+s^2)-2rs\sqrt{2},\] de donde $rs=0$ y $2r^2+s^2=3$. De la primera condición, llegamos a que $r=0$ o $s=0$, pero la segunda no tiene solución racional con $r=0$ o $s=0$.