Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\mathbb{Z}^+$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ tales que $$f(a)f(a + b) − ab$$ es un cuadrado perfecto para todo $a,b\in\mathbb{Z}^+$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

• $f(yf(x)) + f(x − 1) = f(x)f(y)$ para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$;
• $|f(x)|\lt 2022$ para todo $x\in\mathbb{R}$ tal que $0\lt x \lt 1$.

Sean $a,b,c,x,y,z\in\mathbb{R}$ números reales tales que \[a^2+x^2=b^2+y^2=c^2+z^2=(a+b)^2+(x+y)^2=(b+c)^2+(y+z)^2=(c+a)^2+(z+x)^2.\] Demostrar que $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2$.

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión de enteros positivos y sea $b_1,b_2,b_3,\ldots$ la sucesión de números reales dada por \[b_n = \frac{a_1a_2\cdots a_n}{a_1+a_2+\ldots+a_n}, \text{para todo }n\geq 1\] Demostrar que, si entre cada millón de términos consecutivos de la sucesión $b_1,b_2,b_3,\ldots$ existe al menos uno que es entero, entonces existe algún $k$ tal que $b_k\gt 2021^{2021}$.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f(xf(x-y)) + yf(x) = x + y + f(x^2)$$ para cualesquiera números reales $x, y\in\mathbb{R}$.