Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 616
OIM, 2021-P4
Sean $a,b,c,x,y,z\in\mathbb{R}$ números reales tales que
\[a^2+x^2=b^2+y^2=c^2+z^2=(a+b)^2+(x+y)^2=(b+c)^2+(y+z)^2=(c+a)^2+(z+x)^2.\]
Demostrar que $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2$.
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Problema 615
OIM, 2021-P3
Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión de enteros positivos y sea $b_1,b_2,b_3,\ldots$ la sucesión de números reales dada por
\[b_n = \frac{a_1a_2\cdots a_n}{a_1+a_2+\ldots+a_n}, \text{para todo }n\geq 1\]
Demostrar que, si entre cada millón de términos consecutivos de la sucesión $b_1,b_2,b_3,\ldots$ existe al menos uno que es entero, entonces existe algún $k$ tal que $b_k\gt 2021^{2021}$.
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Problema 611
OIM, 2020-P5
Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que
$$f(xf(x-y)) + yf(x) = x + y + f(x^2)$$
para cualesquiera números reales $x, y\in\mathbb{R}$.
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Problema 602
Sean $a,b,c,d$ cuatro números reales positivos. Si se cumple que
\[a+b+\frac{1}{ab}=c+d+\frac{1}{cd}\quad\text{y}\quad \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ab=\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+cd,\]
demuestra que al menos dos de los cuatro números son iguales.
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Problema 598
Se consideran las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de la forma $f(x)=ax+b$, siendo $a$ y $b$ números reales. ¿Para qué valores de a y b se verifica $f^{2000}(x) = x$ para todo número real $x$.
Nota: Se define $f^2(x)=f(f(x))$, $f^3(x)=f(f(f(x)))$ y, en general, $f^n(x) = f(f^{n-1}(x))$.
pistasolución 1info
Pista. Fíjate en que $f^n(x)=a^nx+(a^{n-1}+a^{n-2}+\ldots+a+1)b$
Solución. Podemos calcular
\begin{align*}
f^2(x)&=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b,\\
f^3(x)&=a^2(ax+b)+ab+b=a^3x+a^2b+ab+b,\\
f^4(x)&=a^3(ax+b)+a^2b+ab+b=a^4x+a^3b+a^2b+ab+b,\ldots
\end{align*}
De esta forma, es claro (se puede probar muy fácilmente por inducción) que aplicar la función $2000$ veces resulta en la función lineal $$f^{2000}(x)=a^{2000}x+(a^{1999}+a^{1998}+\ldots+a+1)b.$$
Para que la función sea igual a la identidad para todo valor de $x$, tiene que ser el coeficiente de $x$ igual a $1$ y el término independiente $0$ (igualdad de polinomios). La condición $a^{2000}=1$ nos lleva a que $a=\pm 1$:
- Si $a=1$, entonces el término independiente es $2000b$, luego tiene que ser $b=0$.
- Si $a=-1$, entonces el término independiente es automáticamente cero.
Nota. El resultado es cierto cambiando $2000$ por cualquier número par. Si lo cambiamos por un número impar, entonces la única solución es la identidad $f(x)=x$.
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