Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como $x^2+2x+1=(x+1)^2$, será suficiente dividir el polinomio $p(x)=ax^4+bx^3+1$ dos veces entre $x+1$ e imponer que los restos se anulen. Por un lado, que $p(x)$ sea divisible entre $x+1$ es equivalente a que $p(-1)=0$. Como $p(-1)=a-b+1$, tendrá que cumplirse que $b=a+1$ luego tenemos podemos expresar \[p(x)=ax^4+(a+1)x^3+1=(x+1)(ax^3+x^2-x+1).\] Ahora bien, el polinomio $q(x)=ax^3+x^2-x+1$ también tiene que ser divisible por $x+1$, lo que se traduce en que $q(-1)=-a+3=0$, luego $a=3$. Por tanto, los valores que buscamos son $(a,b)=(3,4)$ (observemos que $3x^4+4x^3+1=(x^2+2x+1)(3x^2-2x+1)$). Informar

Solución. Si $p(x)=ax^4+bx^3+1$ es divisible por $x^2+2x+1=(x+1)^2$, entonces $p(x)$ tiene a $-1$ como raíz doble. Esto nos dice que $p(-1)=0$ y $p'(-1)=0$. La condición $p(-1)=0$ se traduce en $b-a-1=0$ y $p'(-1)=0$ se traduce en $3b-4a=0$. Resolviendo este sistema de dos ecuaciones lineales obtenemos la única solución del problema $(a,b)=(3,4)$. Informar

Solución. Llamemos \(P(x)\) al polinomio producto. A partir de la expresión del enunciado, es fácil ver que \(P(x)=P(-x)\) (es decir, \(P(x)\) es una función par). Ahora bien, \(P(-x)\) tiene todos los coeficientes impares cambiados de signo con respecto a \(P(x)\) luego por la unicidad de los coeficientes de los polinomios, estos deberían ser iguales a su opuesto, lo que significa que han de ser cero. Informar

Solución. Que $p(x)$ tenga una raíz simple $\alpha$ y una doble $\beta$, nos dice que podemos escribir el polinomio como \[p(x)=2(x-\alpha)(x-\beta)^2{.}\] Ahora tendremos que distinguir dos casos, dependiendo de que $\alpha=2$ ó $\beta=2$.

• Si $\alpha=2$, entonces desarrollamos \[p(x)=2(x-2)(x-\beta)^2=2x^3-4(\beta+1)x^2+2\beta(\beta+4)x-4\beta^2{.}\] Como el término independiente tiene que ser igual a $-16$, deducimos que $\beta^2=4$, es decir, $\beta=2$ ó $\beta=-2$. Obviamente $\beta=2$ tiene que descartarse ya que en tal caso $p(x)$ tendría una raíz triple, luego nos queda $\beta=-2$, en cuyo caso \[p(x)=2x^3-12x^2+24x-16,\] y por tanto $a=-12$ y $b=24$.
• Si $\beta=2$, entonces podemos desarrollar \[p(x)=2(x-\alpha)(x-2)^2=2x^3-2(\alpha+4)x^2+8(\alpha-1)x+8\alpha{,}\] y el término independiente nos dice en este caso que $\alpha=2$, luego tenemos una raíz triple y tenemos que descartar este caso.

Deducimos que los únicos valores que cumplen el enunciado son $a=-12$ y $b=24$. Informar

Solución. Llamemos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) a las tres raíces y supongamos que \(\alpha+\beta=\gamma\). Entonces, las relaciones de Cardano nos dicen que \begin{eqnarray*} 2\gamma=\alpha+\beta+\gamma&=&-a\\ \alpha\beta+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma&=&b\\ \alpha\beta\gamma&=&-c \end{eqnarray*} de donde \(a^3-4ab+8c=(-2\gamma)^3-4(-2\gamma)(\alpha\beta+\gamma^ 2)+8(-\alpha\beta\gamma)=0\), como se pretendía probar. Informar

Solución. Consideremos la identidad $$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3abc.$$ Si $abc=k(a+b+c)$, entonces podemos sacar factor común $a+b+c$: $$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac+3k).$$ Ahora bien, $1\lt a+b+c\lt a^3+b^3+c^3$ salvo que $a=b=c=1$, pero en tal caso se tendría que $k=\frac{1}{3}\not\in\mathbb{N}$. Deducimos así que $a+b+c$ es un factor propio de $a^3+b^3+c^3$ y, por tanto, este número no puede ser primo.

Para responder a la segunda pregunta, tomamos $c=k$, con lo que la condición $abc=k(a+b+c)$ se reescribe como $(a-1)(b-1)=k+1$ y ahora basta elegir $a=2$ y $b=k+2$. Es fácil comprobar que $(a,b,c)=(2,k+2,k)$ cumple la condición dada.

Informar

Solución. Si el polinomio tiene por raíces a $\alpha$ y $\frac{1}{\alpha}$ entonces es divisible entre \[(x-\alpha)(x-\tfrac{1}{\alpha})=x^2-(\alpha+\tfrac{1}{\alpha})x+1,\] es decir, tiene un factor de la forma $x^2+px+1$ para cierto $p\in\mathbb{R}$. Por lo tanto, podemos factorizar \begin{eqnarray*} x^4-\frac{3\sqrt{2}}{2}x^3+3x^2+mx+2&=&(x^2+px+1)(x^2+ax+b)\\ &=&x^4+(a+p)x^3+(1+b+ap)x^2+(a+bp)x+b. \end{eqnarray*} Igualando los términos independientes tenemos que $b=2$ e igualando los coeficientes de $x^2$ y $x^3$ llegamos a que $ap=0$ y $a+p=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$, de donde se deducen fácilmente los dos posibles valores del par $(a,p)$.

• Si $a=0$ y $p=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$, entonces $m=a+2p=-3\sqrt{2}$ y la factorización queda \[\left(x^2-\frac{3\sqrt{2}}{2}x+1\right)(x^2+2).\] El primer factor tiene raíces (inversas) $\sqrt{2}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mientras que el segundo factor no tiene raíces reales.
• Si $a=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$ y $p=0$, entonces $m=a+2p=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$ y la factorización queda \[(x^2+1)\left(x^2-\frac{3\sqrt{2}}{2}x+2\right).\] En este caso el primer factor no tiene raíces reales y el segundo tampoco, ya que su determinante es $\frac{-7}{2}\lt 0$.

Deducimos que la única solución al problema es $m=-3\sqrt{2}$. Informar

Solución. Las raíces comunes a $P(x)$ y $Q(x)$ también son raíces de $P(x)-Q(x)$, y este polinomio diferencia está dado por \[P(x)-Q(x)=(a-c)(x^3-x)=(a-c)x(x-1)(x+1).\] Esto nos dice que dichas raíces comunes son iguales a $0$, $1$ ó $-1$ y no puede haber una raíz doble común. Como $0$ no es raíz de $P(x)$ ni de $Q(x)$ ya que $P(0)=Q(0)=1\neq 0$, llegamos a que las raíces comunes sólo pueden ser $1$ y $-1$ (raíces simples). Ahora bien \begin{eqnarray} P(1)=Q(1)&=a+b+c+2, P(-1)=Q(-1)&=&-a+b-c+2. \end{eqnarray} luego las condiciones que nos pide el enunciado son que los dos valores anteriores sean cero, es decir, que $a+c=0$ y $b=-2$. No obstante, ha de cumplirse que $a\neq 0$ y $c\neq 0$ para que $a\neq c$. Resolvamos las ecuaciones con estos valores de los parámetros.

En primer lugar, la ecuación $P(x)=0$ se puede factorizar como \begin{eqnarray} 0=P(x)&=&x^4+ax^3-2x^2-ax+1\\ &=&(x-1)(x+1)\left(x-\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}\right)\left(x-\frac{a-\sqrt{a^2+4}}{2}\right). \end{eqnarray} De la misma forma, la ecuación $Q(x)=0$ se obtiene cambiando $a$ por $-a$, y tenemos que \begin{eqnarray} 0=Q(x)&=&x^4-ax^3-2x^2+ax+1\\ &=&(x-1)(x+1)\left(x-\frac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}\right)\left(x-\frac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}\right). \end{eqnarray} Estas factorizaciones se obtienen fácilmente por el método de Rufini, sabiendo de antemano que $\pm 1$ son raíces de ambos polinomios. De esta forma hemos expresado explícitamente las cuatro soluciones de las ecuaciones, dos de las cuales ($x=\pm 1$) son comunes y las otras dos distintas. Informar

Solución. Supongamos que las raíces del polinomio son \(\alpha-d\), \(\alpha\) y \(\alpha +d\), ya que están en progresión aritmética. Entonces, las ecuaciones de Cardano para este polinomio se escriben como \(3\alpha=-2c\), \(3\alpha^2-d^2=-c\) y \(\alpha^3-\alpha d^2=-10\). Nos quedamos ahora con que de la primera se puede despejar \(c=\frac{-3\alpha}{2}\) y sustituimos este valor en la ecuación del enunciado. Como \(\alpha\) es una raíz suya, tiene que cumplir \(P(\alpha)=0\). Sustituyendo \(\alpha\) y simplificando, llegamos que ha de cumplir que \[4\alpha^3-3\alpha^2-20=0\] es decir, \(\alpha\) es solución de \(4x^3-3x^2-20=0\). Esta ecuación tiene a \(x=2\) como solución real y otras dos soluciones complejas. Por tanto, \(\alpha=2\) y, de la tercera ecuación de Cardano, \(8-2d^2=-10\) luego \(d=\pm 3\). Deducimos que las raíces del polinomio son \(-1\), \(2\) y \(5\) y que \(c=-3\). Informar

Solución. Llamemos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) a las raíces del polinomio y supongamos que \(\alpha\lt\beta\lt\gamma\), luego \(\frac{1}{\alpha}\gt\frac{1}{\beta}\gt\frac{1}{\gamma}\). Que estén en progresión geométrica nos dice que \(\alpha\gamma=\beta^2\) y, que sus inversos estén en progresión aritmética nos dice que \(\frac{\alpha+\gamma}{\alpha\gamma}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\gamma}=\frac{2}{\beta}\). Usando la condición \(\alpha\gamma=\beta^2\), llegamos a que \(\alpha+\gamma=2\beta\), es decir, las raíces también están en progresión aritmética. En particular, la media aritmética y geométrica de \(\alpha\) y \(\gamma\) coinciden (son iguales a \(\beta\)) luego, por la desigualdad de las medias, \(\alpha=\beta=\gamma\). En consecuencia, \(b=-(\alpha-\beta-\gamma)=-3\alpha\) y \[x^3+bx^2+cx+d=(x-\alpha)^3=\left(x+\frac{b}{3}\right)^3=x^3+bx^2+\frac{b^2}{3}x+\frac{b^3}{27}\] y de aquí que \(c=\frac{b^2}{3}\) y \(d=\frac{b^3}{27}\).
Si no se nos ocurre el truco de las medias, otra forma de resolver el problema consiste en, una vez llegados a que \(\alpha+\gamma=2\beta\), plantear las ecuaciones de Cardano y despejar en función de \(\beta\). Informar

Solución. Podemos suponer sin perder generalidad que \(a=1\) (basta dividir la ecuación por \(a\), con lo que no cambian sus raíces ni cambia que \(b\) y \(c\) sean racionales). En tal caso, llamemos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) a las raíces y supongamos que \(\gamma=\alpha\beta\). Las relaciones de Cardano se escriben ahora como: \begin{eqnarray*} \alpha+\beta+\gamma&=&0\\ \gamma(1+\alpha+\beta)&=&c\\ \gamma^2&=&-d \end{eqnarray*} luego de la primera y segunda ecuaciones tenemos que \(\gamma(1-\gamma)=c\) y, como la tercera nos dice que \(-\gamma^2=d\), deducimos finalmente que \(\gamma=c-d\), que obviamente es racional. Informar

Solución. En primer lugar, observamos que $p(-1)\neq 0$, luego los números $\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$, $\frac{1-\beta}{1+\beta}$ y $\frac{1-\gamma}{1+\gamma}$ están bien definidos. Consideremos el cambio de variable $y=\frac{1-x}{1+x}$, cuyo cambio inverso es él mismo, es decir, puede despejarse $x=\frac{1-y}{1+y}$. Por tanto, si consideramos \[p\left(\frac{1-y}{1+y}\right)=\left(\frac{1-y}{1+y}\right)^3-3\left(\frac{1-y}{1+y}\right)+1=\frac{3y^3+9y^2-3y-1}{(1+y)^3},\] el miembro de la izquierda es igual a cero para $y=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$, $y=\frac{1-\beta}{1+\beta}$ o $y=\frac{1-\gamma}{1+\gamma}$. Esto quiere decir que el numerador $3y^3+9y^2-3y-1$ también debe ser cero para estos tres valores de $y$ y el polinomio que buscamos es $q(x)=3x^3+9x^2-3x-1$.

Nota. Otra técnica para resolver este problema es usar la ecuaciones de Cardano, pues el polinomio buscado $q(x)=x^3+bx^2+cx+d$ debe cumplir que \begin{eqnarray} b&=&-\frac{1-\alpha}{1+\alpha}-\frac{1-\beta}{1+\beta}-\frac{1-\gamma}{1+\gamma},\\ c&=&\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\cdot\frac{1-\beta}{1+\beta}+\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\cdot\frac{1-\gamma}{1+\gamma}+\frac{1-\beta}{1+\beta}\cdot\frac{1-\gamma}{1+\gamma},\\ d&=&\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\cdot\frac{1-\beta}{1+\beta}\cdot\frac{1-\gamma}{1+\gamma}. \end{eqnarray} Los miembros de la izquierda de estas tres relaciones pueden calcularse desarrollándolos y usando las propias ecuaciones de Cardano para el polinomio $p(x)$, es decir, usando que $\alpha+\beta+\gamma=0$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=-3$ y $\alpha\beta\gamma=-1$.

Informar

Solución. Supongamos que las tres raíces $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ son racionales y lleguemos a una contradicción. Si expresamos cada una como una fracción irreducible, sus numeradores tienen que dividir a $d$ y sus denominadores a $a$, lo que nos lleva a que dichos numeradores y denominadores son impares (porque $a$ y $d$ son impares al serlo $ad$). Por otro lado, las relaciones de Cardano nos aseguran que $\frac{b}{a}=\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3$ y $\frac{c}{a}=-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3$ y, si nos fijamos en que $\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3$ y $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ son suma de tres fracciones con el numerador y el denominador impares (y, por tanto, su numerador y denominador son impares), llegamos a que $b$ y $c$ tienen que ser impares, contradiciendo que $bc$ es un número par. Informar