La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
Problema 51★★☆☆☆
Demostrar que, para cualquier número natural \(n\in\mathbb{N}\), la siguiente fracción es irreducible:
\[\frac{21n+4}{14n+3}\]
Pista. ¿Qué ocurriría si \(21n+4\) y \(14n+3\) tuvieran algún factor primo común?
PistaSolución 1Solución. Supongamos, por reducción al absurdo, que \(p\) es un número primo que divide a \(21n+4\) y a \(14n+3\). Entonces \(p\) divide a \(7n=3(21n+4)-4(14n+3)\), de donde \(p=7\) o bien \(p|n\). Claramente \(p=7\) no es posible ya que el numerador no es múltiplo de \(7\) para ningún valor de \(n\). Por otro lado, si \(p|n\), tenemos que \(p|4\) y \(p|3\) puesto que el numerador y el denominador son múltiplos de \(p\) por hipótesis. No obstante, no existe ningún número primo que divida simultáneamente a \(4\) y a \(3\), luego hemos llegado a la contradicción deseada.
Informar InfoOlimpiada Matemática Internacional, 1959 problema 1
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Informar de procedencia del problemaProblema 50★★☆☆☆
Demostrar que en un conjunto de diez números naturales consecutivos siempre hay uno de ellos que es primo relativo con todos los demás.
Pista. ¿cuántos de esos números son múltiplos de $2$? ¿Y de $3$? ¿Y de $5$?...
PistaSolución 1Solución. Supondremos que los números no son $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, pues en tal caso es inmediato que el enunciado se cumple.
Entre los diez números consecutivos hay siempre cinco números que son pares, dos que son múltiplos de 5 y uno que es múltiplo de 10: esto nos da un total de seis números que no pueden ser primos relativos con los demás (justamente los que acaban en 0, 2, 4, 5, 6 y 8). Ahora bien, a lo sumo hay cuatro de los diez números que son múltiplos de 3 y a lo sumo dos de ellos son impares y, por otro lado, a lo sumo hay dos múltiplos de 7 entre los diez números y a lo sumo uno de ellos es impar. Esto nos dice que como mucho hay 9 números que comparten alguno de los factores $\{2,3,5,7\}$ con algún otro número y, por tanto, hay al menos un número cuyo menor factor primo es mayor o igual que 11 (aquí es fundamental que el $1$ no sea uno de los números, caso que hemos excluído al principio). Es obvio que este número es primo relativo con todos los demás.
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Informar de procedencia del problemaProblema 49★☆☆☆☆
Determinar todos los números naturales de cuatro cifras que sean iguales al cubo de la suma de sus cifras.
Pista. Si un número es igual al cubo de la suma de sus cifras, entonces tiene que ser un cubo perfecto, ¿no?
PistaSolución 1Solución. La forma más sencilla de resolver este problema darse cuenta de que el número en cuestión tiene que ser un cubo perfecto de 4 cifras y, por tanto, tiene que ser el cubo de un número entre 10 y 21. En este punto, podría probarse caso por caso y llegar a la solución, aunque vamos a ver que podemos descartar algunos números directamente.
Es bien sabido que la suma de las cifras tiene el mismo resto que el propio número módulo $9$ luego si llamamos $r$ a dicho resto, ha de cumplirse que $r\equiv r^3\ (\text{mód }9)$, es decir, $r\equiv -1$, $r\equiv 0$ ó $r\equiv 1\ (\text{mód }9)$. Esto nos lleva a que el número es el cubo de 10, 17, 18 ó 19. Probando cada uno de estos cuatro casos llegamos a que los únicos que cumplen la condición son $17^3=4913$ y $18^3=5832$.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase nacional), 1998 problema 2
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Informar de procedencia del problemaProblema 48★★☆☆☆
Hallar el menor número natural \(n\in\mathbb{N}\) que cumple las siguientes dos propiedades:
- Su representación en base decimal termina en 6.
- Si borramos el 6 final y lo colocamos delante del resto de los dígitos, el número resultante es cuatro veces el anterior.
Pista. Demuestra que la cifra de las unidades de \(n\) tiene que ser igual a \(4\).
PistaSolución 1Solución. Supongamos que un número que cumple las condiciones del enunciado está dado por \(\sum_{k=1}^n 10^ka_k+6\)), donde \(0\leq a_k\leq 9\) para todo \(k\). Entonces, la segunda condición puede escribirse como
\[6\cdot 10^k+\sum_{k=1}^n 10^{k-1}a_k=4\left(\sum_{k=1}^n 10^ka_k+6\right)\]
Como \(6\cdot 4=24\), el miembro de la izquierda tiene que acabar en \(4\), esto es, \(a_1=4\). Observemos ahora que sabemos que el número termina en \(46\) y, como \(46\cdot 4=184\), el miembro de la izquierda termina en \(84\) luego el número que buscamos termina en \(846\). Reiterando el proceso tres veces más, tenemos que los seis últimos dígitos de un número que cumpla las propiedades del enunciado tienen que ser \(153846\) y, en particular, tal número tiene que tener al menos seis cifras significativas. Como el propio \(153846\) cumple que \(615384=4\cdot 153846\), éste es el menor número que lo cumple.
Informar InfoOlimpiada Matemática Internacional, 1962 problema 1
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Informar de procedencia del problemaProblema 46★★★☆☆
Sea \(n\) un entero mayor que \(10\) tal que todos sus dígitos son \(1\), \(3\), \(7\) ó \(9\). Demostrar que \(n\) tiene al menos un factor primo mayor o igual que \(11\).
Pista. Suponiendo que el enunciado no se cumpliera, ¿qué ocurriría con la cifra de las decenas de \(n\)?
PistaSolución 1Solución. Supongamos por reducción al absurdo que \(n\) es un entero mayor que \(10\) tal que todos sus dígitos están en el conjunto \(\{1,3,7,9\}\) y sólo tiene factores primos menores que \(11\). Está claro que no puede tener factores \(2\) ó \(5\) (la cifra de las unidades no estaría en el conjunto admisible de cifras) luego \(n\) tiene que ser de la forma \(3^a7^b\) para ciertos exponentes \(a\) y \(b\). Probaremos que para cualquier número de la forma \(3^a7^b\) la cifra de las decenas es par y habremos terminado.
Probaremos esto por inducción. Es claro que para \(a=0,b=1\) tenemos \(n=07\) y para \(a=1,b=0\) tenemos \(n=03\), y ambos tienen la cifra de las decenas par. Si ahora probamos que al multiplicar por \(3\) ó por \(7\) un número que tiene el número se las decenas par y el de las unidades 1, 3, 7 ó 9 volvemos a obtener otro número con las mismas características habremos terminado. Esto se deduce de que \(1\cdot 3=03\), \(3\cdot 3=09\), \(7\cdot3=21\), \(9\cdot 3=27\), \(1\cdot 7=07\), \(3\cdot 7=21\), \(7\cdot 7=49\) y \(9\cdot 7=63\), y de que la cifra de las decenas siempre será par ya que es la suma de la cifra de las decenas de uno de los productos anteriores y un número par.
Informar InfoOlimpiada Iberoamericana de Matemáticas, 1999 problema 4
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