Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Es bien conocido que si $r$ y $s$ son números enteros, entonces $r-s$ divide a $p(r)-p(s)$ (ver la nota). Esto nos dice que, si existe el polinomio propuesto, $62-19=43$ divide a $2-1=1$, lo cual es claramente imposible.

Nota. En realidad, la propiedad propuesta se deduce de que $r-s$ divide a $r^n-s^n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, lo cual es a su vez consecuencia de la factorización \[r^n-s^n=(r-s)(r^{n-1}+r^{n-2}s+r^{n-3}s^2+\ldots+s^{n-1}).\]

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Solución. Consideremos el número \[a_n=(4+\sqrt{11})^n+(4-\sqrt{11})^n.\] Desarrollando por el binomio de Newton, tenemos que \[a_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}4^{n-k}11^{k/2}(1+(-1)^k),\] luego todos los términos en que $k$ es impar se anulan y el resto queda duplicado. Esto nos dice que $a_n$ es un número par para todo $n\in\mathbb{N}$. Otra forma de ver esto es comprobar que se cumple la relación $a_n=8a_{n-1}+5a_{n-2}$ y, como $a_0=2$ y $a_1=8$ son pares, se sigue que todos los $a_n$ son pares. Ahora bien, se cumple que $4-\sqrt{11}\approx 0.683375$, luego $(4-\sqrt{11})^n$ está entre $0$ y $1$ para todo $n\in\mathbb{N}$. En consecuencia, $(4+\sqrt{11})^n$ es igual al número par $a_n$ menos un número entre $0$ y $1$, luego su parte entera es impar. Informar

Solución. Llamemos $a_1,\ldots,a_8$ a las longitudes de los ocho lados del octógono, escritos de forma consecutiva. Vamos a demostrar que $a_1=a_5$ puesto que las otras igualdades $a_2=a_6$, $a_3=a_7$ y $a_4=a_8$ se demuestran de forma similar.

Para ello, vamos a tomar las rectas que contienen a los lados impares $a_1,a_3,a_5,a_7$. Como los ángulos interiores son iguales a $45º$, estas rectas son paralelas dos a dos y forman un rectángulo $R$. Además, si a $R$ le quitamos el octógono, quedarán cuatro triángulos rectángulos isósceles de hipotenusas $a_2,a_4,a_6,a_8$, por lo que sus catetos serán $\frac{a_2}{\sqrt{2}},\frac{a_4}{\sqrt{2}},\frac{a_6}{\sqrt{2}},\frac{a_8}{\sqrt{2}}$, respectivamente. Imponiendo ahora que los lados opuestos de $R$ deben tener igual longitud, nos quedan las relaciones $$\frac{a_4+a_6}{2}\sqrt{2}+a_5=\frac{a_8+a_2}{2}\sqrt{2}+a_1,\qquad \frac{a_2+a_4}{2}\sqrt{2}+a_3=\frac{a_6+a_8}{2}\sqrt{2}+a_7.$$ Si usamos finalmente que los lados tienen longitudes enteras, entonces los términos que multiplican a $\sqrt{2}$ deben ser iguales (ya que $\sqrt{2}$ es irracional, mientras que el resto de términos son racionales), lo que nos lleva a reformular las igualdades anteriores como $$\frac{a_4+a_6}{2}=\frac{a_8+a_2}{2},\qquad a_5=a_1,\qquad \frac{a_2+a_4}{2}\sqrt{2}=\frac{a_6+a_8}{2},\qquad a_3=a_7,$$ probando así la igualdad que queríamos.

Nota. ¿Es cierto el mismo resultado para un hexágono?

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Solución. Que los tres últimos dígitos coincidan equivale a que $$1978^n-1978^m=1978^m(1978^{n-m}-1)\equiv 0\ (\text{mod }1000).$$ Esto implica que $m\geq 3$ ya que $1000=2^35^3$ y nos bastará trabajar módulo $5^3=125$. Vamos a buscar, por tanto, el menor entero $k$ tal que $1978^k\equiv 1\ (\text{mod }125)$. El teorema de Euler-Fermat nos dice que $1978^{\varphi(125)}\equiv 1\ (\text{mod }125)$ ya que $\mathrm{mcd}(125,1978)=1$, siendo $\varphi(125)=5^2(5-1)=100$. El menor exponente $k$ que estamos buscando debe ser un divisor de $100$ (ver nota), lo que nos da las posibilidades $k=1,2,4,5,10,20,25,50,100$. Ahora bien, como $1978\equiv 103\ (\text{mod }125)$, tenemos que $$1978^{2}\equiv 103^2=10609\equiv 109\ (\text{mod }125),\quad 1978^4\equiv 109^2=11881\equiv 6\ (\text{mod }125),$$ luego podemos calcular $$1978^{20}\equiv 103^4(103^4)^4=6\cdot 6^4\equiv 6\cdot 36^2\equiv 6\cdot 46\equiv 26\ (\text{mod }125).$$ Esto nos dice que el $k$ buscado no es igual a ninguno de los números $1,2,3,4,10,20$ (divisores de $20$). Probemos ahora $k=50$, lo que nos permitirá descartar también $25$ y $50$: $$1978^{50}\equiv 103^2((103^4)^4)^3=109\cdot 46^3\equiv 109\cdot 86\equiv 124\ (\text{mod }125).$$ Esto nos deja sólo la posibilidad $k=100$, que nos da $m=3$ y $n=103$. Por tanto, la menor suma posible es $m+n=106$.

Nota. La afirmación de que $k$ debe ser un divisor de $100$ es un hecho conocido, pero vamos a demostrarlo. Si tomamos $d=\mathrm{mcd}(k,100)$, entonces la identidad de Bézout nos dice que existen $u$ y $v$ tales que $d=ku+100v$, luego $1978^d=(1978^k)^u(1978^{100})^v\equiv 1\ (\text{mod }125$. Si $k$ es el menor entero positivo que cumple $1978^k\equiv 1\ (\text{mod }125)$, entonces tiene que ser $d=k$, es decir, $k$ es un divisor de $100$.

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Solución. Basta darse cuenta de la siguiente expresión: $$\frac{2}{n}=\frac{1}{\frac{n+1}{2}}+\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}},$$ donde los números $\frac{n+1}{2}$ y $\frac{n(n+1)}{2}$ son ambos enteros por ser $n$ impar. Además, estos dos números son distintos por ser $n\geq 3$. Informar