La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
Problema 361★★★☆☆
Un entero positivo se llama monótono si sus dígitos en base decimal de izquierda a derecha forma una sucesión no decreciente. Demostrar que, para cada entero positivo $n$ existe un número monótono de $n$ dígitos que es cuadrado perfecto.
Sin pistas
Solución 1Solución. Algunos cuadrados perfectos monótonos son $1=1^2$, $16=4^2$, $144=12^2$ ó $1156=34^2$. Vamos a dar dos familias de cuadrados perfectos monótonos, una que recorre todos los valores de $n$ pares y otra los impares:
- Los números de la forma $333\ldots 34$ tienen cuadrado monótono:
\[34^2=1156,\quad 334^2=111556,\quad 3334^2=11115556,\ldots\]
- Los números de la forma $1666\ldots 67$ tienen cuadrado monótono:
\[17^2=289,\quad 167^2=27889,\quad 1667^2=2778889,\ldots\]
Para dar una demostración rigurosa, veamos que los números así formados son cuadrados perfectos. En primer lugar, el número $1\ldots15\ldots56$ formado por $n$ unos, $n-1$ cincos y $1$ seis, se puede expresar como
\[\sum_{i=0}^{2n-1}10^i+4\sum_{i=0}^{n-1}10^i+1=\frac{10^{2n}-1}{9}+4\frac{10^n-1}{9}+1=\frac{10^{2n}+4\cdot 10^n+4}{9}=\left(\frac{10^n+2}{3}\right)^2,\]
que claramente es un cuadrado perfecto ($10^n+2$ es siempre múltiplo de $3$). Observemos que en el desarrollo anterior hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica.
Por otro lado, el número $27\ldots78\ldots89$ formado por $1$ dos, $n-1$ sietes, $n$ ochos y $1$ nueve, se puede expresar de forma similar como un cuadrado perfecto:
\begin{eqnarray*}
2\sum_{i=0}^{2n}10^i+5\sum_{i=0}^{2n-1}10^i+\sum_{i=0}^n10^i+1&=&2\frac{10^{2n+1}-1}{9}+5\frac{10^{2n}-1}{9}+\frac{10^{n+1}-1}{9}+1\\
&=&\frac{25\cdot 10^{2n}+10\cdot 10^n+1}{9}=\left(\frac{5\cdot 10^n+1}{3}\right)^2.
\end{eqnarray*}
Nota. Existen otros ejemplos de números que generan cuadrados monótonos, como pueden ser los de la forma $3\ldots35$, $3\ldots37$ ó $6\ldots67$ (que dan todos ellos un número par de dígitos).
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Dado un entero $n\geq 2$, demostrar que existe un conjunto $S$ de $n$ números enteros tales que $(a-b)^2$ divide a $ab$ para cualesquiera $a,b\in S$.
Pista. Si $a$ y $b$ cumplen la propiedad del enunciado, entonces también la cumplen $a+c$ y $b+c$ siempre que $c$ sea un múltiplo de $ab$.
PistaSolución 1Solución. Construyamos el conjunto $S$ por inducción sobre $n$. Para el caso base $n=2$, basta tomar el conjunto $S=\{1,2\}$. Supongamos entonces que $\{a_1,\ldots,a_n\}$ es un conjunto de $n$ elementos tales que $(a_i-a_j)^2$ divide a $a_ia_j$ para cualesquiera subíndices $i$ y $j$; si construimos un conjunto $S$ de $n+1$ elementos que también cumple esta propiedad habremos demostrado el enunciado.
La idea clave es darse cuenta de que si $a$ y $b$ son tales que $(a-b)^2$ divide a $ab$, entonces $a+c$ y $b+c$ también cumplen esta propiedad siempre que $c$ sea un múltiplo de $ab$. Por tanto, si consideramos el producto $c=a_1\cdots a_n$, el conjunto $S_1=\{c,a_1+c,a_2+c,\ldots,a_n+c\}$ tiene $n+1$ elementos (son todos distintos) y cumple la propiedad del enunciado. Comprobémoslo:
- Tomando $a=a_i+c$ y $b=a_j+c$, se tiene que $(a-b)^2=(a_i-a_j)^2$ divide a $a_ia_j$ por hipótesis de inducción, luego también divide a $ab=a_ia_j+c(a_i+a_j)+c^2$ (ya que $c$ es múltiplo de $a_ia_j$).
- Tomando $a=c$ y $b=a_i+c$, se tiene que $(a-b)^2=a_i^2$ divide a $ab=a_ic+c^2$ ya que $a_i$ divide a $c$.
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Informar de procedencia del problemaProblema 348★★★☆☆
Sean $a,p,n\in\mathbb{N}$ enteros positivos con $p$ primo. Demostrar que si $2^p+3^p=a^n$, entonces $n=1$.
Pista. Trabaja módulo $5$ y módulo $25$.
PistaSolución 1Solución. En primer lugar, si $p=2$, tenemos que $2^p+3^p=13$, que no es potencia de exponente mayor que uno. Por lo tanto, supondremos que $p$ es impar. Trabajando módulo $5$ tenemos que
\[2^p+3^p=2^p+(-2)^p\equiv 2^p-2^p\equiv 0\ (\text{mód }5),\]
lo que nos dice que $a$ debe ser divisible entre $5$. Si probamos que $2^p+3^p$ no es divisible entre $25$ habremos terminado (si $n\geq 2$, entonces $a^n$ sería divisible entre $25$).
Debemos evaluar $2^p+3^p$ módulo $25$, para lo que usaremos el binomio de Newton de la siguiente forma:
\[2^p+3^p=2^p+(5-2)^p=2^p+\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}(-1)^k5^k2^{p-k}\equiv 2^p+5p\cdot 2^{p-1}-2^p\equiv 5p\cdot 2^{p-1}\ (\text{mód }25),\]
donde hemos usado que $p$ es impar y que los términos para $k\geq 2$ son múltiplos de $25$. Ahora bien, si $p\neq 5$, esto nos dice que $2^p+3^p\not\equiv 0\ (\text{mód }25)$. Si $p=5$, entonces $2^p+3^p=32+243=275=5^2\cdot 11$ sí que es múltiplo de $25$, pero no es la potencia de ningún entero, luego el enunciado también se cumple en este caso especial.
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Informar de procedencia del problemaProblema 336★★★☆☆
Probar que, para cada $n\in\mathbb{N}$, existe un número entero $N$ que puede ser expresado como la suma de dos cuadrados y que, además, cumple que $n\leq N\leq n+2\sqrt{2}\sqrt[4]{n}$.
Pista. Puedes tomar como uno de los dos cuadrados que suman $N$ el mayor cuadrado que sea menor o igual que $n$.
PistaSolución 1Solución. Sea $r^2$ el mayor cuadrado perfecto menor o igual que $n$ y sea $s^2$ el mayor cuadrado perfecto menor o igual que $n-r^2$. En otras palabras, $r$ y $s$ están determinados por las desigualdades
\[r^2\leq n\lt (r+1)^2,\qquad s^2\leq n-r^2\lt(s+1)^2.\]
Como estamos trabajando con enteros, estas desigualdades estrictas son equivalentes a las siguientes:
\[r^2\leq n\leq r^2+2r,\qquad s^2\leq n-r^2\leq s^2+2s.\]
Si $n=r^2+s^2$, entonces basta tomar $N=n$. En caso contrario, tenemos que $n\leq r^2+s^2-1$, en cuyo caso tomamos $N=r^2+(s+1)^2$. Para ver que se cumple lo que queremos, observemos que:
- de la desigualdad $n-r^2\lt(s+1)^2$ se deduce que $n\lt N$;
- de la desigualdad $s^2\leq n-r^2-1$, obtenemos que $N=r^2+(s+1)^2\leq n+2s$, luego
\[N\leq n+2s\leq n+2\sqrt{n-r^2}\leq 2\sqrt{2r}\leq 2\sqrt{2}\sqrt[4]{n}.\]
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Informar de procedencia del problemaProblema 320★★★★☆
Decimos que un número entero positivo es un número ondulante si sus dígitos en base 10 son alternativamente cero y distinto de cero, siendo el dígito de las unidades distinto de cero. Determinar todos los enteros positivos que no dividen a ningún número ondulante.
Pista. Si $n$ no es múltiplo de $2$ ni de $5$, el teorema de Euler sobre congruencias debería servirte para demostrar que $n$ tiene un múltiplo ondulante. Después razona que las potencias de dos también tienen múltiplos ondulantes por inducción sobre el exponente. Finalmente, combina los dos casos para ver que si un número no es múltiplo de $10$ ni de $25$, entonces tiene un múltiplo ondulante.
PistaSolución 1Solución. Los múltiplos de $10$ y los múltiplos de $25$ no son números ondulantes ya que acaban en $0$, $25$ ó $75$. Vamos a probar que cualquier otro número $n$ divide a un número ondulante.
- Caso 1: $n$ no es múltiplo de $2$ ni de $5$. Dado $k\in\mathbb{N}$, se tiene que $\mathrm{mcd}((10^k-1)n,10^k)=1$, luego $10^{k\varphi(n)}\equiv 1\ (\text{mód}\ (10^k-1)n)$, donde $\varphi(n)$ es la función de Euler. Esto nos dice que
\[A(k,n)=\frac{10^{k\varphi(n)}-1}{10^k-1}\]
es un múltiplo de $n$ formado por ceros y unos, de forma que hay $k-1$ ceros entre cada par de unos. Por tanto, $A(2,n)$ es un múltiplo de $n$, que además es ondulante.
- Caso 2: $n$ es un múltiplo de $5$ pero no de $10$ ni de $25$. Entonces, el número $5A(2,\frac{n}{5})$ es un múltiplo de $n$ ondulante (formado por ceros y cincos).
- Caso 3: $n$ es una potencia de $2$. Veamos por inducción sobre $r$ que $2^{2r+1}$ tiene un múltiplo ondulante $B(r)$ de $2r-1$ dígitos. Si $r=1$, entonces $2^r=8$ es de por sí ondulante y tiene un dígito, luego tomamos $B(1)=8$. Supongamos que $2^{2r+1}$ tiene un múltiplo ondulante $B(r)$ de $2r-1$ dígitos, es decir, $B(r)=2^{2r+1}a$ para cierto $a\in \mathbb{N}$. Consideremos el número ondulante
\[N=10^{2r}b+B(r)=2^{2r}b+2^{2r+1}a=2^{2r}(b+2a).\]
Entonces $N'$ tiene $2r+1$ dígitos y $N'$ será múltiplo de $2^{2r+3}$ para algún valor de $b\in\{2,4,6,8\}$ ya que de entre cuatro números pares consecutivos ($2+2a$, $4+2a$, $6+2a$ y $8+2a$) hay uno de ellos múltiplo de $8$, luego definimos $B(r+1)=10^{2r}b+B(r)$ para tal elección de $b$.
- Caso 4: $n=2^rm$ para cierto número impar $m$ que no es múltiplo de $5$. Entonces, el número $B(r)$ es múltiplo de $2^{2r+1}$ y, por tanto, múltiplo de $2^r$. El número $A(2r+2,m)$ es múltiplo de $m$ y tiene sus unos espaciados por $2r+1$ ceros, luego $A(2r+1,m)B(r)$ es un número ondulante y múltiplo de $n=2^rm$.
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InfoIMO shortlist, 1994 problema 24
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