La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
Problema 258★★☆☆☆
Hallar todas las ternas de números enteros $(x,y,z)$ tales que
$$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=z.$$
Pista. Observa que una expresión del tipo $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ se puede reescribir como $(a-1)(b-1)=1$.
PistaSolución 1Solución. Evidentemente el miembro de la izquierda está comprendido entre $0$ y $2$, sean cuales sean los valores de $x$ e $y$, y no puede tomar el valor $0$, luego al ser el miembro de la derecha entero, tiene que ser igual a $1$ ó a $2$. Con $z=2$, se tienen las soluciones $(1,1,2)$, $(1,-1,2)$, $(-1,1,2)$ y $(-1,-1,2)$. Si $z=1$, podemos reescribir la ecuación original como $(x^2-1)(y^2-1)=1$, de donde $x^2-1$ e $y^2-1$ tienen que tomar el valor $1$ ó $-1$. Como $x$ e $y$ no pueden valer cero, deducimos que el caso $z=1$ no da ninguna solución y, por tanto, las únicas son las cuatro ternas obtenidas para $z=2$.
Nota. Otra posible solución más directa al problema consiste en dividir ambos términos por $z$, que es siempre distinto de cero, y escribir el resultado como $(zx^2-1)(zy^2-1)=1$, de donde $zx^2-1$ y $zy^2-1$ tienen que valer $\pm 1$. De aquí es fácil llegar a las cuatro soluciones arriba descritas.
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Informar de procedencia del problemaProblema 255★★★★☆
Determinar todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ para los cuales
\[\frac{a^2b+b}{ab^2+9}\]
es un número entero.
Pista. La identidad $b(a^2b+b)-a(ab^2+9)=b^2-9a$ nos dice que si la fracción del enunciado es un número entero, entonces $b^2-9a$ es divisible entre $ab^2+9$. En los casos en que $0\lt |b^2-9a|\lt |ab^2+9|$ podrás asegurar que $b^2-9a$ no es divisible entre $ab^2+9$. El resto de casos (son pocos) pueden tratarse de forma directa.
PistaSolución 1Solución. Supongamos que un par $(a,b)$ satisface esa condición y consideremos la igualdad
\[b(a^2b+b)-a(ab^2+9)=b^2-9a\]
(hemos hecho una combinación de ambos números para eliminar los términos de tercer grado). Dividiendo entre $ab^2+9$, llegamos a que
\[\frac{b^2-9a}{ab^2+9}\]
también es un número entero. Distingamos varios casos según el signo del numerador:
- Si $b^2-9a\gt 0$, entonces claramente $ab^2+9\gt b^2\gt b^2-9a\gt 0$, lo que nos dice que dicha fracción no puede ser un número entero (pues su numerador es estrictamente menor que su denominador y son ambos números positivos). Esto prueba que este caso no puede ocurrir.
- Si $b^2-9a=0$, entonces la fracción anterior queda
\[\frac{b^2-9a}{ab^2+9}=\frac{b^2-9a}{9(a^2+1)}=\frac{b}{9},\]
con lo que $b$ ha de ser múltiplo de $9$ y $a=\frac{b^2}{9}$, es decir, obtenemos todos los pares de la forma $(9k^2,9k)$ para $k\in\mathbb{N}$.
- Finalmente, si $b^2-9a\lt 0$, distinguimos a la vez tres casos:
- Si $b\geq 3$, entonces en la fracción $\frac{b^2-9a}{ab^2+9}$ el valor absoluto del numerador es menor que $9a$ y el del denominador es mayor que $9a+9$, lo que nos lleva a que dicha fracción no puede ser un número entero.
- Si $b=2$, entonces tenemos que $\frac{b^2-9a}{ab^2+9}=\frac{4-9a}{4a+9}$. Ahora bien,
\[4(4-9a)+9(4a+9)=97,\]
luego si $4-9a$ es divisible entre $4a+9$, $97$ también ha de ser divisible entre $4a+9$. Como $97$ es un número primo y $4a+9\geq 13$, la única posibilidad es $4a+9=97$, que implica $a=22$. Es fácil comprobar que el par $(22,2)$ es una solución del problema.
- Si $b=1$, entonces $\frac{b^2-9a}{ab^2+9}=\frac{1-9a}{a+9}=-9+\frac{82}{a+9}$ (en este caso hemos podido hacer la división directamente a diferencia del caso $b=2$). Por tanto, $a+9$ divide a $82=2\cdot 41$. Como $a+9\geq 10$, deducimos que las únicas posibilidades son $a+9=41$ y $a+9=82$, que dan lugar a los pares $(32,1)$ y $(73,1)$. Se comprueba que también son soluciones al problema original.
En resumen, hemos probado que los únicos pares para los que la fracción del enunciado es un número entero son $(22,2)$, $(32,1)$, $(73,1)$ y los de la forma $(9k^2,9k)$ para $k\in\mathbb{N}$.
Informar InfoOlimpiada Matemática Rioplatense (nivel 3), 2002 problema 1
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Informar de procedencia del problemaProblema 254★★☆☆☆
Sean $a$ y $b$ enteros. Demostrar que la ecuación
\[(x-a)(x-b)(x-3)+1=0\]
admite a lo sumo una solución entera.
Pista. Observa que $x-a$, $x-b$ y $x-3$ tienen que ser divisores de $-1$.
PistaSolución 1Solución. La ecuación se puede escribir como $(x-a)(x-b)(x-3)=-1$. Por tanto, si $x$ es una solución entera, entonces $x-a$, $x-b$ y $x-3$ son números enteros que dividen a $-1$, luego han de ser iguales a $\pm 1$. En particular, de la condición $x-3=\pm 1$ deducimos que las únicas posibles raíces enteras de la ecuación son $x=2$ y $x=4$. Probaremos por reducción al absurdo que no pueden ser las dos a la vez soluciones.
Si $x=2$ es solución, sustituyendo en la ecuación original obtenemos que $(2-a)(2-b)=1$ y, si $x=4$ es solución, entonces $(4-a)(4-b)=-1$. Si ambos valores de $x$ son soluciones, entonces $4-a$ y $2-a$ son iguales a $\pm 1$ y, como se diferencian en $2$ unidades, tiene que ser $4-a=1$ y $2-a=-1$, es decir, $a=3$. Sustituyendo $a=3$ en $(2-a)(2-b)=1$, tenemos que $2-b=-1$ y, por tanto, $b=3$. No obstante, $a=b=3$ no cumple $(4-a)(4-b)=-1$ y hemos llegado a una contradicción.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase nacional), 2005 problema 1
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Informar de procedencia del problemaProblema 253★★★☆☆
¿Existe alguna potencia de $2$ tal que al escribirla en el sistema decimal tenga todos sus dígitos distintos de cero y sea posible reordenar los mismos para formar con ellos otra potencia de $2$?
Pista. ¿Qué ocurre si trabajamos módulo $9$?
PistaSolución 1Solución. Supongamos que $A$ y $B$ son dos potencias de $2$ distintas pero con los mismos dígitos (no nulos) reordenados. Vamos a llegar a una contradicción y esto dará respuesta negativa a la pregunta del enunciado. Primero observamos dos propiedades de $A$ y $B$.
- Como los dígitos tanto de $A$ como de $B$ son no nulos, ambos números han de tener el mismo número de cifras significativas. En particular, si suponemos que $A\lt B$, entonces ocurre alguna de las siguientes tres situaciones: $B=2A$ ó $B=4A$ ó $B=8A$ (observa que ambas son potencias de $2$ y $16A$ tiene siempre más cifras que $A$).
- Como los dígitos son los mismos, tenemos que $A\equiv B$ (mód $9$).
Ahora bien, como $A$ y $B$ son primos relativos con $9$ (son potencias de $2$), tenemos que $A\equiv B=2^kA$ (mod $9$) implica $1\equiv 2^k$ (mód $9$). Tanto si $k=1$ como si $k=2$ ó $k=3$ esta congruencia es falsa, lo que nos da la contradicción buscada.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase nacional), 2004 problema 4
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Informar de procedencia del problemaProblema 250★★☆☆☆
Encontrar el mayor entero $N$ que cumple las siguientes condiciones:
- $E(\frac{N}{3})$ es un número de tres cifras iguales,
- $E(\frac{N}{3})=1+2+\ldots+n$, para algún número natural $n\in\mathbb{N}$,
donde $E(x)$ denota la parte entera de $x$.
Pista. Observa que $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ y encuentra los números con tres cifras iguales que se pueden escribir de esta forma.
PistaSolución 1Solución. Según la condición (a), podemos escribir $E(\frac{N}{3})=111\cdot a$ para cierto número natural $a$ entre $1$ y $9$. Ahora bien, el apartado (b) nos permite desarrollar
$$\frac{n(n+1)}{2}=1+2+\ldots+n=111\cdot a=3\cdot 37\cdot a,$$
de forma que $n(n+1)=2\cdot 3\cdot 37\cdot a$. Por tanto, el producto $2\cdot 3\cdot 37\cdot a$ se tiene que descomponer en producto de dos números consecutivos, lo cual sólo ocurre para $a=6$ y $n=36$. Así tenemos que $E(\frac{N}{3})=666$, es decir, $666\leq\frac{N}{3}<667$. Esta desigualdad es equivalente a $1998\leq N<2001$, lo que nos asegura que $N=2000$ es la solución buscada.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase nacional), 2000 problema 4
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Informar de procedencia del problema