Hay varias formas de ver que $x^2+x+1$ es un factor de $x^{2a}+x^a+1$:
Nota. Puede pensarse que esta forma de demostrar que el número es entero es muy rebuscada, pero la idea es muy similar a la demostración de que los números combinatorios son enteros (concretamente, se prueba que un número combinatorio es la suma de los dos que están por encima de él en el triángulo de Tartaglia).
InformarPor inspección directa, los números menores o iguales que 100 que son suma de dos cuadrados son: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100. Estos hacen un total de 43 valores de $P$ entre 1 y 100, lo que responde al apartado (a).
Para responder al apartado (b), veamos ahora que el producto de dos números que se expresan como suma de dos cuadrados vuelve a ser suma de dos cuadrados, pero esto es consecuencia de la siguiente identidad, válida para cualesquiera números $a$, $b$, $c$ y $d$ no necesariamente enteros: $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2{.}$$
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