La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
Problema 103★★☆☆☆
Encontrar todos los números naturales \(n\in\mathbb{N}\) tales que \(3^n+5^n\) es múltiplo de \(3^{n-1}+5^{n-1}\).
Pista. Demostrar que, si esto ocurre, entonces \(3^n+5^n=4(3^{n-1}+5^{n-1})\).
PistaSolución 1Solución. Observemos en primer lugar que
\[3(3^{n-1}+5^{n-1})=3^n+3\cdot 5^n<3^n+5^n<5\cdot 3^{n-1}+5^n=5(3^{n-1}+5^{n-1})\]
luego, si \(3^n+5^n\) es múltiplo de \(3^{n-1}+5^{n-1}\), entonces tiene que ser \(3^n+5^n=4(3^{n-1}+5^{n-1})\). Ahora bien, esto nos lleva a que \(5^n-4\cdot 5^{n-1}=4\cdot 3^{n-1}-3^n\), es decir, \(3^{n-1}=5^{n-1}\), igualdad que sólo se tiene para \(n=1\). Deducimos que el único natural para el que se cumple es \(n=1\) (observemos que, en tal caso, \(3^n+5^n=8\) y \(3^{n-1}+5^{n-1}=2\)).
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase local), 2005 problema 6
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Informar de procedencia del problemaProblema 96★★☆☆☆
¿Existe algún número natural tal que al elevarlo al cubo su expresión decimal termine en $111$?
Pista. ¿Cuál debe ser la cifra de las unidades del número para que la de su cubo sea 1? ¿Y la de las decenas para que el cubo termine en 11?
PistaSolución 1Solución. La respuesta es afirmativa y un ejemplo es el 471, que cumple que $471^3=104487111$. Veamos cómo obtener este resultado.
Es obvio que los únicos números que al elevarlos al cubo su expresión decimal termina en $1$ son los que de por sí tienen la cifra de las unidades igual a $1$. Ahora bien, si queremos que la cifra de las decenas del cubo también sea $1$, ésta dependerá sólo de las cifras de las decenas y las unidades del número original y, haciendo la multiplicación con el algoritmo usual y poniendo una cifra indeterminada para las decenas, es fácil ver que tiene que ser $7$ para que el cubo termine en $11$. Repitiendo el proceso, se deduce que la de las centenas tiene que ser $4$.
Nota. Es curioso observar que, repitiendo el proceso, podemos llegar a un número que al cubo termine en tantas unos como deseemos. Esto no ocurre con otras potencias distintas del cubo en general.
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Informar de procedencia del problemaProblema 94★★☆☆☆
¿Cuál es el menor valor positivo posible de $36^m-5^n$, siendo $m$ y $n$ números naturales?
Pista. ¿Cuáles pueden ser las cifras de las unidades del número $36^m-5^n$?
PistaSolución 1Solución. Observemos que la expresión decimal de $36^m$ siempre termina en $6$ mientras que la de $5^n$ siempre lo hace en $5$ luego $36^m-5^n$ siempre termina en $1$ independientemente de los valores de $m$ y $n$. Además, para $m=1$ y $n=2$, el resultado es $11$ luego si descartamos que pueda ocurrir $36^m-5^n=1$, habremos terminado y la respuesta será $11$.
Si ocurriera que $36^m-5^n=1$, entonces $(6^m-1)(6^m+1)=36^m-1=5^n$, de donde $6^m+1$ debería ser una potencia de $5$ pero, módulo $5$, este número es congruente con $2$ y hemos llegado a una contradicción.
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Informar de procedencia del problemaProblema 93★★☆☆☆
Dado un número primo \(p\geq 7\), hallar los posibles restos de dividir \(p^2\) entre \(30\).
Pista. Los únicos restos posibles son \(1\) y \(19\). ¿Cómo podrías demostrar esto?
PistaSolución 1Solución. Observemos que \(7^2=49\) tiene resto \(19\) al dividirlo entre \(30\) y \(11^2=121\) tiene resto \(1\) al dividirlo entre \(30\). Vamos a demostrar que \(1\) y \(19\) son las únicas posibilidades.
Como \(p^2\) es impar, se tiene que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 2)\) y, como no es múltiplo de \(3\), se tiene que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 3)\). Estas dos congruencias nos llevan a que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 6)\) de donde, módulo \(30\), \(p^2\) puede ser congruente con \(1\), \(7\), \(13\), \(19\) ó \(25\). FInalmente, como \(p^2\) no es múltiplo de \(5\), deducimos que \(p^2\equiv 1\) ó \(p^2\equiv 4\ (\text{mod } 5)\) y, de las posibilidades anteriores, sólo quedan \(1\) y \(19\), como queríamos probar.
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Informar de procedencia del problemaProblema 76★★☆☆☆
Se define la sucesión \(\{p_n\}\) de la siguiente manera: \(p_1=2\) y, para todo \(n\geq 2\), \(p_n\) es el mayor divisor primo de la expresión \(p_1p_2\cdots p_{n-1}+1\). Probar que \(p_n\) es siempre distinto de \(5\).
Pista. Demostrar que si \(p_n=5\), entonces \(p_1p_2\cdots p_{n-1}+1\) es una potencia de \(5\).
PistaSolución 1Solución. En efecto, tenemos que \(p_1=2\), \(p_2=3\) y todos los \(p_n\) son primos entre sí por la condición de que \(p_n\) divide a \(p_1p_2\cdots p_{n-1}+1\). Por tanto, si existe \(n\) tal que \(p_n=5\), entonces \(p_1p_2\cdots p_{n-1}+1\) tiene que ser una potencia de \(5\), es decir, existe \(a\in\mathbb{N}\) tal que \(p_1p_2\cdots p_{n-1}=5^a-1\), pero el término de la derecha es múltiplo de \(4\) y el de la izquierda no (ya que \(p_1=2\) y todos los demás factores son impares) luego tenemos una contradicción, tal y como deseábamos.
Informar InfoOlimpiada Iberoamericana de Matemáticas, 1987 problema 4
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Informar de procedencia del problema