Problema 486★★★★☆
¿Pueden elegirse $1983$ enteros no negativos distintos y menores que $10^5$ tales que no hay tres de ellos en progresión aritmética?
Pista. Trabaja en base 3 y considera los números que sólo se escriben con ceros y unos (no se usan doses).
PistaSolución 1Solución. Consideremos los enteros que se escriben en base tres únicamente con ceros y unos, es decir, la sucesión
\[\{0_{(3)},1_{(3)},10_{(3)},11_{(3)},100_{(3)},101_{(3)},110_{(3)},111_{(3)},1000_{(3)},\ldots\}\]
Esta sucesión es $\{0, 1, 3, 4, 9, 10,
12, 13, 27, \ldots\}$ en base $10$. En otras palabras, estamos escribiendo los enteros no negativos en base $2$ y "leyéndolos" en base 3. Veamos en primer lugar que no hay tres términos $x\lt y\lt z$ en progresión aritmética. Por reducción al absurdo, si los hubiera, tendríamos que $x+z=2y$, luego $x+z$ se escribiría solo con ceros y doses en base $3$, lo que nos dice que $x$ y $z$ deberían tener los mismos unos en la misma posición, luego $x=z$ y esto contradice que hemos supuesto que son distintos.
Ahora bien, como $1982=11110111110_{(2)}$, el número que ocupa la posición $1983$ en la sucesión anterior (observa que el cero también está en la sucesión) es
$$11110111110_{(3)}=3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^7+3^8+3^9+3^10=87843\lt 10^5.$$
Deducimos así que podemos encontrar $1983$ enteros negativos distintos menores que $10^5$ de forma que no hay tres de ellos en progresión aritmética.
Informar InfoOlimpiada Matemática Internacional, 1983 problema 5
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Informar de procedencia del problemaProblema 485★☆☆☆☆
En un triángulo $ABC$, sabemos que la altura que pasa por $A$ es mayor o igual que el lado $BC$ y que la altura que pasa por $B$ es mayor o igual que el lado $AC$. Encontrar los ángulos de dicho triángulo.
Pista. Usa el teorema de Pitágoras con las alturas y los lados adyacentes para obtener desigualdades entre los lados.
PistaSolución 1Solución. Llamemos $a,b,c$ a los lados del triángulo opuestos a los vértices $A,B,C$, respectivamente, y llamemos $h_a$ y $h_b$ a las alturas sobre los lados $a$ y $b$, respectivamente. Como la distancia de $A$ a la recta $BC$ es $h_a$, se tiene que $b\geq h_a\geq a$. Análogamente, como la distancia de $B$ a la recta $AC$ es $h_b$, se tiene que $a\geq h_b\geq b$. Esto nos dice que $a=b$ y también que la distancia de $A$ a la recta $BC$ se realiza en $C$ (es decir, $C$ es el pie de la altura $h_a$. En particular, el ángulo $\angle ACB$ es recto y los ángulos $\angle BAC$ y $\angle ABC$ son de $45º$ por ser $a=b$.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1964 problema 1
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Informar de procedencia del problemaProblema 484★★☆☆☆
¿Cuántas expresiones algebraicamente diferentes podemos obtener colocando paréntesis en la expresión $a_1/a_2/a_3/\ldots/a_n$?
Pista. Nos piden identificar cuántas fracciones diferentes hay al escribir la expresión del enunciado como una única fracción. Fíjate en que $a_1$ siempre irá al numerador y $a_2$ al denominador. ¿Dónde pueden ir el resto de elementos?
PistaSolución 1Solución. Lo que nos están preguntando es que al expresar el resultado como una única fracción, siendo el numerador el producto de varios de los números y el denominador el producto del resto, de cuántas formas distintas pueden estar dispuestos los números. Por ejemplo, para $n=2$ sólo podemos obtener $\frac{a_1}{a_2}$; para $n=3$ podemos colocar los paréntesis como $(a_1/a_2)/a_3=\frac{a_1}{a_2a_3}$ o bien como $a_1/(a_2/a_3)=\frac{a_1a_3}{a_2}$; para $n=4$, obtenemos las siguientes cinco posibilidades:
\begin{align*}
((a_1/a_2)/a_3)/a_4&=\frac{a_1}{a_2a_3a_4},&
(a_1/(a_2/a_3))/a_4&=\frac{a_1a_3}{a_2a_4},\\[5pt]
(a_1/a_2)/(a_3/a_4)&=\frac{a_1a_4}{a_2a_3},&
a_1/((a_2/a_3)/a_4)&=\frac{a_1a_3a_4}{a_2},&
a_1/(a_2/(a_3/a_4))&=\frac{a_1a_3}{a_2a_4}.&
\end{align*}
Observamos que $a_1$ siempre está en el numerador y $a_2$ siempre está en el denominador, pero el resto de números pueden estar en cualquiera de los dos. Veamos por inducción sobre $n$ que esto último siempre es posible. Consideremos una disposición de los elementos dada por
\[\frac{a_1a_{k_1}\cdots a_{k_r}}{a_2a_{j_1}\cdots a_{j_s}}.\qquad\qquad (\star)\]
Distinguiremos dos casos dependiendo del primer elemento después de $a_2$ que encontremos en el numerador:
- Si todos los elementos $a_3,\ldots,a_n$ están en el denominador, entonces podemos los poner paréntesis para hacer las divisiones en orden:
$$((((a_1/a_2)/a_3)/\ldots)/a_n=\frac{a_1}{a_2a_3\cdots a_n}.$$
- Si no todos los elementos $a_3,\ldots,a_n$ están en el denominador, entonces habrá un primer índice $k\geq 2$ para el que $a_k$ está en el denominador y $a_{k+1}$ en el numerador. Entonces, podemos poner paréntesis de la forma $(A)/(B)$. En $A$ están los números $a_1,a_2,\ldots,a_{k-1}$ con los paréntesis necesarios para obtener la misma disposición que en ($\star$), lo cual se consigue usando la hipótesis de inducción. Análogamente, en $B$ están los números $a_k,\ldots,a_n$ con paréntesis para obtener la misma disposición que en ($\star$) cambiando numerador por denominador, lo que de nuevo es posible por la hipótesis de inducción. De esta forma, la expresión $(A)/(B)$ es algebraicamente equivalente a ($\star$).
Como hay total libertad para elegir las posiciones (numerador o denominador) de $n-2$ números (del $a_3$ al $a_n$), concluimos que hay un total de $2^{n-2}$ expresiones distintas.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1964 problema 12
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Informar de procedencia del problemaProblema 483★★★☆☆
Un círculo está inscrito en un cuadrilátero convexo $ABCD$ tal que $AB$ es paralelo a $CD$ y $BC=AD$. Si $E$ es el punto de intersección de las diagonales y los círculos inscritos en los triángulos $ABE$, $BCE$, $CDE$ y $DAE$ tiene radios $r_1$, $r_2$, $r_3$ y $r_4$, respectivamente, demostrar que
\[\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.\]
Pista. Observa que $r_2=r_4$ y que hay una cierta relación entre $r_1$ y $r_3$, que se puede expresar en términos de los lados de $ABCD$ ya que $ABE$ y $CDE$ son semejantes. Por tanto, el problema se reduce a encontrar la relación entre $r_2$ y $r_3$.
PistaSolución 1Solución. El cuadrilátero $ABCD$ puede ser o bien un rombo o bien un trapecio isósceles. En el caso del rombo, se tiene que $r_1=r_2=r_3=r_4$ por simetría de la figura, luego la fórmula dada se cumple evidentemente. Supondremos entonces que se trata de un trapecio isósceles y supondremos sin perder generalidad que $BC=AD=1$ y escribiremos $CD=x\lt 1$. La condición de que tiene círculo inscrito nos dice que $AB+CD=BC+AD$, de donde $CD=2-x$.
Los triángulos $BEC$ y $AED$ son congruentes, luego $r_2=r_2$. Los triángulos $AEB$ y $CED$ son semejantes ya que $AB$ y $CD$ son paralelas y están en proporción $2-x$ a $x$. En consecuencia, tenemos que $r_1=\frac{2-x}{x}r_3$, lo que nos permite reescribir la condición del enunciado como:
$$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}\ \Leftrightarrow\ r_2=(2-x)r_3.$$
Sea $P$ el pie de la perpendicular por $D$ al lado $AB$. El teorema de Pitágoras en el triángulo $APD$ nos dice que $1=AP^2+DP^2=(1-x)^2+DP^2$ y en el triángulo $BDP$ nos dice que $BD^2=DP^2+BP^2=DP^2+1$. De estas dos ecuaciones, se deduce que $DP^2=1+2x-x^2$, luego se tiene por la semejanza entre $CED$ y $AEB$ que
\[DE=\frac{x}{2}DP=\frac{x}{2}\sqrt{1+2x-x^2},\qquad BE=\frac{2-x}{2}DP=\frac{2-x}{2}\sqrt{1+2x-x^2}.\]
Para obtener la relación entre $r_2$ y $r_3$, usamos que el área de un triángulo es igual al semiperímetro por el radio inscrito en los triángulos $BEC$ y $CED$, que tienen por altura común $h$ a la perpendicular por $C$ a $DB$. En el triángulo $BEC$, tenemos que
\[\tfrac{1}{2}(1+\sqrt{1+2x-x^2})r_2=\tfrac{1}{2}BE\cdot h=\frac{2-x}{4}\sqrt{1+2x-x^2}\cdot h,\]
mientras que en el triángulo $CED$ obtenemos
\[\tfrac{1}{2}(x+x\sqrt{1+2x-x^2})r_3=\tfrac{1}{2}DE\cdot h=\frac{x}{4}\sqrt{1+2x-x^2}\cdot h.\]
Despejando e igualando $h$ en ambas fórmulas, se tiene que $r_2=(2-x)r_3$, como queríamos demostrar.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1964 problema 15
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Informar de procedencia del problemaProblema 482★★☆☆☆
Sea $n$ un número impar y sean $a_1,\ldots,a_n$ números enteros cualesquiera. Podemos sustituir estos números por las medias aritméticas $\frac{a_1+a_2}{2}, \frac{a_2+a_3}{2},\ldots,\frac{a_n+a_1}{2}$. Si repitiendo esta operación tantas veces como queramos siempre obtenemos números enteros, demostrar que los números originales son todos iguales.
Pista. ¿Qué ocurre con los valores máximo y mínimo de los números?
PistaSolución 1Solución. Supongamos que no todos los números $a_1,\ldots,a_n$ son iguales y consideremos el valor máximo $M$ de estos números. Si un número aislado es igual a $M$, entonces en el siguiente paso se sustituirá por un valor menor que $M$. De forma más general, si tuviéramos $k$ números consecutivos iguales a $M$, entonces en el siguiente paso sólo quedarían $k-1$, con lo que tras un número finito de pasos todos los números serán menores que $M$. De la misma forma, tras un número finito de pasos, el valor mínimo $m$ crecerá si los números no son todos iguales. En particular, la diferencia $M-m$ es un número entero positivo que decrece estrictamente tras un número finito de pasos si los números no son iguales; esto demuestra que la sucesión de números es finalmente constante ya que un entero positivo no puede decrecer indefinidamente quedando entero y positivo.
Hemos probado que llegamos siempre a una sucesión constante $a\in\mathbb{Z}$, pero en el paso anterior a esta constante, los números deben ser alternadamente $a+r$ y $a-r$ para otro entero $r$. La sucesión no puede alternar cíclicamente entre dos valores si el número de elementos $n$ es impar.
Nota. Si $n=2k$ es par, sí que podrían ser distintos los números, aunque sigue siendo cierto que la sucesión es finalmente constante. Por ejemplo, si $a_1=a_3=\ldots=a_{2k-1}=1$ y $a_2=a_4=\ldots=a_{2k}=3$, siempre obtenemos números enteros y los números originales no son todos iguales.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1964 problema 4
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