Problema 109★★☆☆☆
A cada vértice de un cubo se le asigna el valor $1$ ó $-1$, y a cada cara el producto de los valores asignados a los vértices. ¿Qué valores puede tomar la suma de los catorce valores así obtenidos?
Pista. Demuestra que al cambiar un vértice de signo, la suma permanece invariante módulo $4$.
PistaSolución 1Solución. Al cambiar un vértice de signo, cambian con él tres caras de signo, es decir, cambian cuatro signos. Por tanto, pueden ocurrir las siguientes situaciones cuando se cambia un vértice de signo:
- los cuatro signos pasan de positivos a negativos, con lo que la suma cambia en $-8$;
- pasan de un negativo y tres positivos a un positivo y tres negativos, con lo que la suma cambia en $-4$;
- pasan de dos positivos y dos negativos a dos positivos y dos negativos, con lo que la suma no cambia;
- pasan de un positivo y tres negativos a un negativo y tres positivos, con lo que la suma cambia en $+4$;
- pasan de todos negativos a todos positivos y la suma cambia en $+8$.
Partiendo de todos los signos positivos (con suma igual a $14$) y cambiando vértices de signo, podemos llegar a cualquier configuración pero los casos anteriores nos dicen que la suma será la original modificada en un múltiplo de $4$, es decir, será 14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$, $-10$ ó $-14$.
El valor $-14$ no puede ser puesto que implicaría que todos los números son negativos y no pueden ser simultáneamente negativos los cuatro vértices de una cara y la propia cara. Tampoco puede darse el caso $-10$ ya que habría dos números negativos y $12$ positivos. Los demás casos (14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$) sí que pueden ocurrir y dejamos al lector que ponga ejemplos de cada uno de ellos.
Informar InfoOlimpiada Iberoamericana de Matemáticas, 1991 problema 1
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Informar de procedencia del problemaProblema 108★★☆☆☆
Determinar todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left.\begin{array}{r}x+y-z=-1\\x^2-y^2+z^2=1\\-x^3+y^3+z^3=-1\end{array}\right\}\]
Pista. Prueba que toda solución cumple $y=-1$.
PistaSolución 1Solución. Probando con los números $1$ y $-1$, podemos encontrar fácilmente las soluciones $(1,-1,1)$ y $(-1,-1,-1)$. Probaremos que son las únicas y, para ello, comenzaremos viendo que cualquier solución $(x,y,z)$ cumple que $y=-1$.
En efecto, si $y\gt -1$, en la primera ecuación tendríamos que $x\gt z$ y en la tercera que $x\lt z$, lo que nos lleva a una contradicción. Si ocurriera que $y\lt -1$, tendríamos que de la primera ecuación $x-z=-1-y\gt 0$ y, de la tercera, que $-x^3+z^3=-1-y^3\gt 0$, luego volvemos a caer en la misma contradicción. Deducimos entonces que $y=-1$.
Sustituyendo $y=-1$, tenemos que $x=z$ en la primera ecuación y $x^2+z^2=2$ en la segunda, luego $x=z=\pm 1$, de donde obtenemos las soluciones propuestas anteriormente. Observemos que ambas cumplen la tercera ecuación luego son las únicas soluciones.
Informar InfoOlimpiada Iberoamericana de Matemáticas, 1989 problema 1
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Informar de procedencia del problemaProblema 107★★☆☆☆
A cada entero positivo $n$ se le asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones:
- $f(r\cdot s)=f(r)+f(s)$,
- $f(n)=0$, siempre que la cifra de las unidades de $n$ sea $3$,
- $f(10)=0$.
Hallar $f(1985)$. Justificar la respuesta.
Pista. Factorizar siempre es útil.
PistaSolución 1Solución. Tenemos una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}_0$ cumpliendo las propiedades del enunciado. Por un lado, tenemos que $0=f(10)=f(2)+f(5)$, luego $f(2)=f(5)=0$ ya que ambos números son no negativos. Por tanto, se tiene que $f(1985)=f(5\cdot 397)=f(5)+f(397)=f(397)$. Por otro lado, las propiedades del enunciado nos dicen que
\[0=f(3573)=f(3\cdot 3\cdot 397)=f(3)+f(3)+f(397)=f(397)\]
ya que tanto $3573$ como $3$ tienen la cifra de las unidades igual a $3$. De aquí deducimos que $f(1985)=0$.
Informar InfoOlimpiada Iberoamericana de Matemáticas, 1985 problema 5
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Informar de procedencia del problemaProblema 106★★★☆☆
Hallar las funciones $f:\mathbb{R}-\{-1,0,1\}\to\mathbb{R}$ que cumplen la ecuación
\[f(x)^2\cdot f\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=64x\]
para cualquier $x\in\mathbb{R}-\{-1,0,1\}$.
Pista. ¿Qué ocurre si cambiamos $x$ por $\frac{1-x}{1+x}$? Prueba a hacer los cálculos.
PistaSolución 1Solución. Consideremos la función auxiliar
\[\varphi:\mathbb{R}-\{-1,0,1\}\to\mathbb{R}-\{-1,0,1\},\qquad\varphi(x)=\frac{1-x}{1+x},\]
que cumple que $\varphi(\varphi(x))=x$.
La ecuación inicial se puede escribir como $f(x)^2f(\varphi(x))=64x$. Si sustituimos $x$ por $\varphi(x)$, obtenemos que $f(\varphi(x))^2\cdot f(x)=64\varphi(x)$, con lo cual tenemos el sistema
\[\left\{\begin{array}{l}f(x)^2f(\varphi(x))=64x,\\f(\varphi(x))^2 f(x)=64\varphi(x).\end{array}\right.\]
Elevando la primera igualdad al cuadrado y dividiéndola por la segunda (que no se anula ya que $x\neq\pm 1$, luego $\varphi(x)\neq 0$) llegamos a que $f(x)^3=64\frac{x^2}{\varphi(x)}$, de donde podemos despejar
\[f(x)=\sqrt[3]{\frac{64x^2}{\varphi(x)}}=4\sqrt[3]{\frac{x^2(1+x)}{1-x}}.\]
Puede comprobarse que esta función está bien definida para $x\neq-1$ y satisface la igualdad del enunciado, luego es la única solución al problema.
Informar InfoOlimpiada Iberoamericana de Matemáticas, 1987 problema 1
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Informar de procedencia del problemaProblema 105★★★★☆
Supongamos que $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ son números positivos que satisfacen la condición $ab+bc+cd+da=1$. Demostrar que
\[\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq\frac{1}{3}\]
y analizar en qué casos se alcanza la igualdad.
Pista. Utilizar la desigualdad de Chebyshev para transformar la desigualdad del enunciado.
PistaSolución 1Solución. Supondremos sin perder generalidad que $a\geq b\geq c\geq d\gt 0$ y llamaremos $E$ al miembro de la izquierda de la desigualdad del enunciado. Si definimos
\[x_1=a^3,\quad x_2=b^3,\quad x_3=c^3,\quad x_4=d^3,\]
\[y_1=\frac{1}{b+c+d},\quad y_2=\frac{1}{a+c+d},\quad y_3=\frac{1}{a+b+d},\quad y_4=\frac{1}{a+b+c},\]
se cumple que $x_1\geq x_2\geq x_3\geq x_4\gt 0$ e $y_1\geq y_2\geq y_3\geq y_4\gt 0$. Por tanto, podemos aplicar la desigualdad de Chebyshev a estos números y obtenemos que
\[E\geq\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right).\]
La desigualdad entre las medias cúbica y aritmética aplicada a los $x_i$ nos dice que
\[\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq\frac{1}{64}(a+b+c+d)^3\]
y la desigualdad entre las medias aritmética y armónica aplicada a los $y_i$ que
\[\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\geq\frac{16}{3(a+b+c+d)}.\]
Usando estas dos últimas desigualdades, llegamos a que
\[E\geq\frac{16(a+b+c+d)^3}{3\cdot 64(a+b+c+d)}=\frac{1}{12}(a+b+c+d)^2.\]
Finalmente, usando que la condición del enunciado se escribe como $(a+c)(b+d)=1$ y usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, obtenemos
\[(a+b+c+d)^2\geq 4(a+c)(b+d)=4,\]
con lo que $E\geq\frac{1}{3}$ como queríamos probar. Si la igualdad se alcanza, entonces en la desigualdad entre las medias cúbica y aritmética para los $x_i$ se deduce que $a=b=c=d$ y , por la condición $ab+bc+cd+da=1$, estos cuatro números tienen que ser iguales a $\frac{1}{2}$, Se comprueba que, para esa elección, se alcanza la igualdad luego esa es la única solución.
Informar InfoIMO shortlist, 1990 problema 24
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