La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
Problema 104★★☆☆☆
Partiendo de dos números naturales $a$ y $b$, repetimos el siguiente proceso: al mayor le restamos el menor y nos quedamos con el menor y con la diferencia. Demostrar que llegará un momento en el los dos números obtenidos serán iguales y determinar esos números.
Pista. ¿Cómo podrías relacionar esto con el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor?
PistaSolución 1Solución. Si $a=b$, entonces está claro el resultado. Supongamos entonces que $a>b$ y dividamos $a$ entre $b$, obteniendo $a=bq+r$, donde $0\leq r\lt b$ es el resto de la división. Repitiendo el proceso del enunciado, pasaremos de $\{a,b\}$ a $\{a-b,b\}$, luego a $\{a-2b,b\}$ y así hasta $\{a-qb,b\}$, es decir, $\{b,r\}$. Otra forma de decir esto es que tras un número de pasos llegaremos a quedarnos con el menor de los números y el resto de la división. Repitiendo esto lo que estamos haciendo es el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor, luego llegaremos a que uno de los números se acabará anulando. En el paso previo, los dos números serán iguales e iguales al máximo común divisor de $a$ y $b$.
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Informar de procedencia del problemaProblema 103★★☆☆☆
Encontrar todos los números naturales \(n\in\mathbb{N}\) tales que \(3^n+5^n\) es múltiplo de \(3^{n-1}+5^{n-1}\).
Pista. Demostrar que, si esto ocurre, entonces \(3^n+5^n=4(3^{n-1}+5^{n-1})\).
PistaSolución 1Solución. Observemos en primer lugar que
\[3(3^{n-1}+5^{n-1})=3^n+3\cdot 5^n<3^n+5^n<5\cdot 3^{n-1}+5^n=5(3^{n-1}+5^{n-1})\]
luego, si \(3^n+5^n\) es múltiplo de \(3^{n-1}+5^{n-1}\), entonces tiene que ser \(3^n+5^n=4(3^{n-1}+5^{n-1})\). Ahora bien, esto nos lleva a que \(5^n-4\cdot 5^{n-1}=4\cdot 3^{n-1}-3^n\), es decir, \(3^{n-1}=5^{n-1}\), igualdad que sólo se tiene para \(n=1\). Deducimos que el único natural para el que se cumple es \(n=1\) (observemos que, en tal caso, \(3^n+5^n=8\) y \(3^{n-1}+5^{n-1}=2\)).
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase local), 2005 problema 6
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Informar de procedencia del problemaProblema 102★☆☆☆☆
La suma de las edades de los 120 estudiantes que participaron el año pasado en la fase final de la Olimpiada Matemática fue de 2002 años. Demostrar que existen 3 de ellos tales que la suma de sus edades no es menor de 51 años.
Pista. Utiliza el principio del palomar.
PistaSolución 1Solución. Dividamos a los 120 alumnos en 40 grupos de 3 personas cada uno y supongamos que la suma de las edades de cada grupo es a lo sumo de 50 años. Entonces, todas las edades sumarían como mucho \(40\cdot 50=2000<2002\), lo cual es una contradicción que proviene de lo que se ha supuesto, es decir, hemos probado que habrá un grupo cuya suma de edades sea, al menos, de 51 años.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase local), 2002 problema 5
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Informar de procedencia del problemaProblema 101★☆☆☆☆
Calcula todas las sucesiones de números naturales consecutivos cuya suma es $1999$.
Pista. Observa que la suma de números naturales consecutivos es la suma de los términos de una progresión aritmética.
PistaSolución 1Solución. Supongamos que $\{a,a+1,a+2,\ldots,a+m\}$ es un conjunto de números naturales consecutivos tales que su suma $S$ es igual a $1999$. Usando la fórmula de los términos de una progresión aritmética, podemos calcular
\begin{eqnarray}
S=a+(a+1)+\cdots+(a+m)&=&(m+1)\cdot a+(1+2+\cdots+m)\\
&=&(m+1)\cdot a+\frac{m(m+1)}{2}.
\end{eqnarray}
Sacando factor común $m+1$ y quitando denominadores, llegamos a que $(m+1)(2a+m)=3998$. La descomposición en factores primos de $3998$ es $2\cdot 1999$ ya que $1999$ es primo. Además, $m+1$ es un número positivo, luego tenemos las siguientes posibilidades:
- $m+1=1$ y $2a+m=3998$, en cuyo caso $m=0$ y $a=1999$.
- $m+1=2$ y $2a+m=1999$, en cuyo caso $m=1$ y $a=999$.
- $m+1=1999$ y $2a+m=2$, lo que nos lleva a un valor negativo de $a$.
- $m+1=3998$ y $2a+m=1$, que también nos lleva a un valor negativo de $a$.
Deducimos que las únicas sucesiones que cumplen el enunciado son la que tiene por único elemento al número $1999$ y la formada por los números $999$ y $1000$.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase local), 1999 problema 4
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Informar de procedencia del problemaProblema 100★☆☆☆☆
¿Es posible dibujar 2003 segmentos en el plano de forma que cada uno de ellos corte exactamente a otros tres segmentos?
Pista. ¿No te resulta todo demasiado impar?
PistaSolución 1Solución. No es posible ya que, si cada segmento cortara a otros tres, el número $2003\cdot 3$ sería el doble del número de puntos de corte (ya que cada uno lo estaríamos contando dos veces), pero $2003\cdot 3$ es impar, lo cual es una contradicción.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase local), 2004 problema 3
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