Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución.

Haciendo \(x=y=0\), obtenemos que \(P(0)=P(0)^2\), de donde \(P(0)=1\) o bien \(P(0)=0\). Si \(P(0)=1\), haciendo \(x=y\) en la ecuación original, \(P(2y)=1\) para todo \(y\in\mathbb{R}\), de donde \(P(x)\) es el polinomio constante \(1\).

Si \(P(0)=0\), entonces cero es una raíz de \(P(x)\) y podemos expresar \(P(x)=x^kQ(x)\) para cierto \(k\in\mathbb{N}\) (la multiplicidad de dicha raíz) y cierto polinomio \(Q(x)\) con \(Q(x)\neq 0\). Sustituyendo esta igualdad en la ecuación del enunciado y simplificando, obtenemos que \(Q(x)\) satisface la misma ecuación que \(P(x)\) y, además, \(Q(0)\neq 0\). Por lo que hemos visto en el párrafo anterior, \(Q(x)\) tiene que ser constante \(1\) luego \(P(x)\) es una potencia de \(x\). Deducimos que los polinomios buscados son \(P(x)=1\) y \(P(x)=x^k\) para \(k\in\mathbb{N}\), los cuales cumplen la ecuación como puede comprobarse.

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Solución. Observemos que, para cada \(n\in\mathbb{N}\), podemos expresar \[4-\frac{2}{n}=\frac{4n-2}{n}=\frac{2n(2n-1)}{n^2},\] luego el producto del enunciado es igual a \[\frac{(2\cdot 1)(4\cdot 3)(6\cdot 5)\cdots(4022\cdot 4021)}{1^2\cdot 2^2\cdot 3^2\cdots 2011^2}=\frac{4022!}{2011!\cdot 2011!}=\left(\begin{matrix}4022\\2011\end{matrix}\right),\] que es un número combinatorio y, por tanto, un número natural. Informar

Solución.

Llamemos $a$ y $b$ a los catetos y $h$ a la altura, de forma que, de los dos triángulos rectángulos que se forman, el de hipotenusa $a$ tiene triple área que el de hipotenusa $b$. Llamemos también $x$ e $y$ a los segmentos en que queda dividida la hipotenusa del triángulo original por la altura correspondientes a los catetos $a$ y $b$, respectivamente. Como el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos, deducimos que $x=3y$ y, como $x+y=1$, tenemos que $x=\frac{3}{4}$ e $y=\frac{1}{4}$.

Usando el Teorema de Pitágoras en los dos triángulos formados, tenemos que $b^2-y^2=h^2=a^2-x^2$, de donde podemos despejar $a^2-b^2=x^2-y^2=\frac{1}{2}$. Otra vez por el Teorema de Pitágoras, ahora en el triángulo original, deducimos que $a^2+b^2=1$ y, junto con $a^2-b^2=\frac{1}{2}$, podemos despejar $a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $b=\frac{1}{2}$.

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Solución. La respuesta es afirmativa y un ejemplo es el 471, que cumple que $471^3=104487111$. Veamos cómo obtener este resultado.

Es obvio que los únicos números que al elevarlos al cubo su expresión decimal termina en $1$ son los que de por sí tienen la cifra de las unidades igual a $1$. Ahora bien, si queremos que la cifra de las decenas del cubo también sea $1$, ésta dependerá sólo de las cifras de las decenas y las unidades del número original y, haciendo la multiplicación con el algoritmo usual y poniendo una cifra indeterminada para las decenas, es fácil ver que tiene que ser $7$ para que el cubo termine en $11$. Repitiendo el proceso, se deduce que la de las centenas tiene que ser $4$.

Nota. Es curioso observar que, repitiendo el proceso, podemos llegar a un número que al cubo termine en tantas unos como deseemos. Esto no ocurre con otras potencias distintas del cubo en general.

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Solución. Consideremos el polinomio \[P(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1},\] donde en la segunda igualdad hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica. Es fácil darse cuenta de que el miembro de la izquierda es \(P'(2)-1\) pero, para calcular, \(P'(x)\) en general usaremos la fórmula dada por la fracción. Derivando dicho cociente, obtenemos que \[P'(x)=\frac{nx^{n-1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}.\] Ahora bien, haciendo \(x=2\), restando \(1\) y simplificando, obtenemos inmediatamente el miembro de la derecha de la igualdad del enunciado. Informar