La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
Problema 94★★☆☆☆
¿Cuál es el menor valor positivo posible de $36^m-5^n$, siendo $m$ y $n$ números naturales?
Pista. ¿Cuáles pueden ser las cifras de las unidades del número $36^m-5^n$?
PistaSolución 1Solución. Observemos que la expresión decimal de $36^m$ siempre termina en $6$ mientras que la de $5^n$ siempre lo hace en $5$ luego $36^m-5^n$ siempre termina en $1$ independientemente de los valores de $m$ y $n$. Además, para $m=1$ y $n=2$, el resultado es $11$ luego si descartamos que pueda ocurrir $36^m-5^n=1$, habremos terminado y la respuesta será $11$.
Si ocurriera que $36^m-5^n=1$, entonces $(6^m-1)(6^m+1)=36^m-1=5^n$, de donde $6^m+1$ debería ser una potencia de $5$ pero, módulo $5$, este número es congruente con $2$ y hemos llegado a una contradicción.
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Informar de procedencia del problemaProblema 93★★☆☆☆
Dado un número primo \(p\geq 7\), hallar los posibles restos de dividir \(p^2\) entre \(30\).
Pista. Los únicos restos posibles son \(1\) y \(19\). ¿Cómo podrías demostrar esto?
PistaSolución 1Solución. Observemos que \(7^2=49\) tiene resto \(19\) al dividirlo entre \(30\) y \(11^2=121\) tiene resto \(1\) al dividirlo entre \(30\). Vamos a demostrar que \(1\) y \(19\) son las únicas posibilidades.
Como \(p^2\) es impar, se tiene que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 2)\) y, como no es múltiplo de \(3\), se tiene que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 3)\). Estas dos congruencias nos llevan a que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 6)\) de donde, módulo \(30\), \(p^2\) puede ser congruente con \(1\), \(7\), \(13\), \(19\) ó \(25\). FInalmente, como \(p^2\) no es múltiplo de \(5\), deducimos que \(p^2\equiv 1\) ó \(p^2\equiv 4\ (\text{mod } 5)\) y, de las posibilidades anteriores, sólo quedan \(1\) y \(19\), como queríamos probar.
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Informar de procedencia del problemaProblema 92★★☆☆☆
Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión geométrica de razón \(r\).
- ¿Para qué valores de \(r\) el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo?
- ¿Para qué valores de \(r\) esl triángulo es equilátero, isósceles o escaleno?
Pista. En el apartado (a), utilizar el teorema del coseno para ver cuánto vale el ángulo mayor.
PistaSolución 1Solución. Supondremos sin perder generalidad que \(r\geq1\) pues, en caso contrario, cambiamos el orden de la progresión para invertir la razón \(r\). Entonces los tres lados del triángulo estarán dados por \(a\), \(ar\) y \(ar^2\), para cierto \(a\in\mathbb{R}\), y verifican \(a\leq ar\leq ar^2\). Como los ángulos correspondientes a cada lado están ordenados en el mismo orden que estos, se sigue que el ángulo mayor es aquél correspondiente al lado \(ar^2\). El teorema del coseno nos asegura que este ángulo, que llamaremos \(\alpha\), verifica
\[\cos\alpha=\frac{a^2+a^2r^2-a^2r^4}{2a^2r}=\frac{1+r^2-r^4}{2r}.\]
Que el triángulo sea acutángulo, rectángulo u obtusángulo dependerá de que \(\cos\alpha\) sea positivo, cero o negativo, respectivamente, luego será necesario analizar el signo de la función de \(r\) que aparece en el término de la derecha, para lo que será suficiente ver en qué valores se anula su numerador. Como la ecuación \(1+r^2-r^4=0\) es bicuadrada, puede resolverse fácilmente y queda como única solución positiva
\[r_0=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.\]
Es fácil ver que, para \(r=r_0\) el triángulo es rectángulo, para \(1\lt r\leq r_0\) es acutángulo, y para \(r\geq r_0\) es obtusángulo.
El apartado (b) es inmediato puesto que si \(r=1\), el triángulo es equilátero (observar que \(1\leq r_0\)) y, si \(r\gt 1\), entonces \(a\lt ar\lt ar^2\), es decir, el triángulo es escaleno. En esta situación, el triángulo nunca puede ser isósceles.
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Informar de procedencia del problemaProblema 91★★★☆☆
Demostrar que si un triángulo tiene dos bisectrices iguales, entonces es isósceles.
Pista. Busca una fórmula para las longitudes de las bisectrices de un triángulo en función de las longitudes de sus lados.
PistaSolución 1Solución. Para resolver este problema, supondremos que las bisectrices correspondientes a los lados \(a\) y \(b\), que denotaremos por \(v_a\) y \(v_b\), respectivamente, coinciden y probaremos que \(a=b\). Para ello, usaremos la siguientes fórmulas conocidas para las longitudes \(v_a\) y \(v_b\):
\[v_a^2=\frac{4bcp(p-a)}{b+c},\hspace{1cm}v_b^2=\frac{4acp(p-b)}{a+c},\]
siendo \(p=\frac{1}{2}(a+b+c)\) al semiperímetro. Si suponemos que \(v_a=v_b\), entonces la identidad de arriba nos asegura que
\begin{eqnarray*}
\frac{4bcp(p-a)}{b+c}=v_a^2=v_b^2=\frac{4acp(p-b)}{a+c}&\Leftrightarrow&(a+c)b(p-a)=(b+c)a(p-b)\\
&\Leftrightarrow&(a+c)b(b+c-a)=(b+c)a(a+c-b)\\
&\Leftrightarrow&-2 b a^2-c a^2+2 b^2 a-c^2 a+b c^2+b^2 c=0\\
&\Leftrightarrow&-(a-b)(c^2+a c+b c+2 a b)=0
\end{eqnarray*}
donde hemos usado que \(p-a=\frac{1}{2}(-a+b+c)\) y \(p-b=\frac{1}{2}(a-b+c)\) y, en los últimos pasos hemos desarrollado la expresión y factorizado. Evidentemente, el término \(c^2+a c+b c+2 a b\) no puede anularse (es siempre positivo) luego necesariamente \(a-b=0\) y hemos probado que el triángulo es isósceles.
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Informar de procedencia del problemaProblema 90★★☆☆☆
Demostrar que si un triángulo tiene dos medianas iguales, entonces es isósceles.
Pista. Busca una fórmula para las longitudes de las medianas de un triángulo en función de las longitudes de los lados.
PistaSolución 1Solución. Para resolver este problema, supondremos que las medianas correspondientes a los lados \(a\) y \(b\), que denotaremos por \(m_a\) y \(m_b\), coinciden y probaremos que \(a=b\). Para ello, usaremos la siguientes fórmulas conocidas para las longitudes \(m_a\) y \(m_b\):
\[m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4},\hspace{1cm}m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\]
Si \(m_a=m_b\), entonces
\[\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}.\]
Simplificando la igualdad anterior, podemos eliminar los términos en \(c\) y resulta \(a^2=b^2\), de donde claramente \(a=b\).
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