Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos utilizar la fórmula que nos dice que el área del triángulo está dada por $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b$, donde $h_a$ y $h_b$ son las alturas correspondientes a los lados $a$ y $b$, respectivamente. A la vista de esto, si $h_a=h_b$, entonces es evidente que $a=b$. Informar

Solución. Observemos que a lo sumo hay \(5\) edades distintas entre todos los participantes pues, en caso contrario, no se cumpliría el enunciado pues basta tomar \(5\) personas fijas e ir variando la sexta para formar grupos y en cada uno de ellos una edad ha de repetirse. En definitiva, tenemos \(5\cdot 5\cdot 2=50\) posibilidades distintas en cuanto a sexo, nacionalidad y edad para una persona. Como hay \(201=4\cdot 50+1\) personas en total, el principio del palomar nos asegura que hay cinco que comparten estas tres características. Informar

Solución. Vamos a probar por inducción sobre $n$ que el valor de la suma es constante uno y, en particular, no depende de $n$. Para $n=0$, la suma tiene un único sumando, correspondiente a $j=k=0$, que vale uno. Supuesto cierto para $n-1$, veamos que también se cumple para $n$, lo que equivale a mostrar que los sumandos que se añaden al cambiar $n-1$ por $n$ suman cero. Dichos sumandos que se añaden corresponden con los valores de $j,k\geq 0$ para los que $j+k=n$ y su suma viene dada por \[\sum_{j+k=n}\frac{(-1)^k}{j!\cdot k!}=\sum_{r=0}^n\frac{(-1)^r}{r!(n-r)!}=\frac{1}{n!}\sum_{r=0}^n(-1)^r\left(\begin{array}{c}n\\r\end{array}\right)=\frac{(1-1)^n}{r!}=0\] donde hemos hecho el cambio $k=r$, $j=n-r$ y en el último paso hemos usado que la sumatoria es la correspondiente por el binomio de Newton al desarrollo de $(1-1)^n$. Informar

Solución. Supongamos que tenemos dibujada una cuadrícula de rectas verticales y horizontales en las coordenadas enteras. Es fácil darse cuenta de que la longitud mínima corresponde a tomar cualquier camino dentro de la cuadrícula sólo moviéndonos hacia la derecha y hacia arriba. Por tanto, el número de caminos será el número de formas de ordenar \(a\) movimientos a la derecha y \(b\) movimientos hacia arriba, que viene dado por \[\frac{(a+b)!}{a!\cdot b!},\] ya que estamos considerando permutaciones de \(a+b\) elementos con repetición de un grupo de \(a\) elementos y otro de \(b\) elementos. Esto coincide con las combinaciones de \(a+b\) elementos tomados de \(b\) en \(b\) o de \(a\) en \(a\). Informar

Solución. Observemos que la suma mínima corresponde al número 100 y la máxima al número 999. Por lo tanto, las sumas varían entre 1 y 27 y hacen un total de 27 sumas distintas, pero las sumas 1 y 27 sólo se tienen en las tarjetas correspondientes a 100 y 999, respectivamente. En consecuencia, el mayor número de tarjetas posible sin tener tres de igual suma es 52 (2 correspondientes a las tarjetas 100 y 999 y dos correpondientes a cada suma entre 2 y 26. De esto deducimos que si tomamos 53 tarjetas cualesquiera, siempre habrá tres que tengan la misma suma. Informar