La base de datos contiene 457 problemas y 475 soluciones.
Problema 84★★★☆☆
Dados siete números reales cualesquiera, demostrar que siempre existen dos de ellos, $x$ e $y$, tales que
\[\frac{x-y}{1+xy}<\frac{\sqrt{3}}{3}{.}\]
Pista. Prueba con algún cambio trigonométrico: ¿no te recuerda algo la fracción del enunciado?
PistaSolución 1Solución. El truco de este problema está en darse cuenta de que la expresión $(x-y)/(1+xy)$ es parecida a la de la tangente de la diferencia de dos ángulos. Si escribimos cada uno de los números iniciales como la tangente de un número en el intervalo $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, el problema equivale al siguiente: dados siete números en el intervalo $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, demostrar que siempre existen dos tales que $\mathrm{tg}(x-y)<\sqrt{3}/{3}$, es decir, $x-y<\frac{\pi}{6}$. Dividiendo el intervalo $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ en seis subintervalos no cerrados de longitud $\frac{\pi}{6}$, uno de ellos contendrá al menos a dos de los números considerados y, por tanto, esos dos números verificarán la desigualdad propuesta.
Informar InfoOlimpiada Matemática Española (fase nacional), 1989 problema 6
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Informar de procedencia del problemaProblema 83★★★☆☆
Probar que no existe ningún triángulo equilátero en el plano cuyos vértices sean puntos de coordenadas enteras. ¿Ocurre lo mismo si trabajamos en el espacio tridimensional?
Pista. Utilizar números complejos para el problema en el plano.
PistaSolución 1Solución. Trabajando con números complejos, supongamos que \(a=a_1+ia_2\) y \(b=b_1+ib_2\) son puntos de coordenadas enteras con \(a\neq b\). Hay exactamente dos puntos del plano que forman con \(a\) y \(b\) un triángulo equilátero y estos puntos, que llamaremos \(c=c_1+ic_2\) y \(d=d_1+id_2\), se pueden construir girando \(b\) con centro en \(a\) un ángulo de \(\frac{\pi}{3}\) y \(\frac{-\pi}{3}\) respectivamente, es decir,
\begin{eqnarray*}
c&=&a+1_{\frac{\pi}{3}}\cdot(b-a)\ =\ a_1+ia_2+\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(b_1-a_1+i(b_2-a_2))\\
&=&\left(\frac{1}{2}(b_1+a_1)+\frac{\sqrt 3}{2}(b_2-a_2)\right)+i\left(\frac{\sqrt 3}{2}(b_1-a_1)+\frac{1}{2}(a_1+a_2)\right)\\
d&=&a+1_{\frac{-\pi}{3}}\cdot(b-a)\ =\ a_1+ia_2+\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(b_1-a_1+i(b_2-a_2))\\
&=&\left(\frac{1}{2}(b_1+a_1)-\frac{\sqrt 3}{2}(b_2-a_2)\right)+i\left(-\frac{\sqrt 3}{2}(b_1-a_1)+\frac{1}{2}(a_1+a_2)\right)
\end{eqnarray*}
Así, si \(c\) ó \(d\) tienen coordenadas enteras, los términos que van multiplicados por \(\frac{\sqrt 3}{2}\) tienen que anularse, es decir, \(b_1-a_1=0\) y \(b_2-a_2=0\), en cuyo caso \(a=b\), que es una contradicción. Por tanto, no hay triángulos equiláteros en el plano con coordenadas enteras.
En el espacio sí existen triángulos equiláteros de coordenadas enteras: por ejemplo, el que tiene por vértices \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) y \((0,0,1)\), como puede comprobarse fácilmente.
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Informar de procedencia del problemaProblema 82★★☆☆☆
Sea \(ABCD\) un paralelogramo y supongamos que \(AC\) es su diagonal mayor. Desde \(C\) se trazan perpendiculares a las rectas \(AB\) y \(AD\), con pies en \(E\) y \(F\) respectivamente. Demostrar que:
\[AB\cdot AE+AD\cdot AF=AC^2.\]
Pista. Utilizar el teorema de Pitágoras a triángulos rectángulos y buscar otros triángulos semejantes.
PistaSolución 1Solución. Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos \(ACE\) y \(BCE\) y usando que \(BC=AD\), obtenemos que
\begin{eqnarray*}
AC^2&=&AE^2+EC^2=AE^2+BC^2-BE^2\\
&=&(AE+BE)(AE-BE)+AD^2=AB\cdot AE+AB\cdot BE+AD^2
\end{eqnarray*}
Ahora bien, como los triángulos \(BCE\) y \(CDF\) son semejantes (es fácil ver que tienen dos ángulos iguales), tenemos que \(BE/BC=DF/CD\) y, teniendo en cuenta que \(CD=AB\), deducimos que \(BE\cdot AB=AD\cdot DF\). Sustituyendo esto último en la igualdad antes obtenida para \(AC^2\), la fórmula del enunciado queda probada.
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Informar de procedencia del problemaProblema 81★☆☆☆☆
Demostrar que, al trazar las medianas de un triángulo cualquiera, éste queda dividido en seis triangulos que tienen la misma área.
Pista. Observa que el área de un triángulo es la mitad del producto de un lado por la altura correspondiente y en este esquema hay varios triángulos con las mismas base y altura.
PistaSolución 1Solución. Llamemos \(M\), \(N\) y \(P\) a los puntos medios de los lados \(AB\), \(BC\) y \(AC\), respectivamente, y denotemos por \(G\) al baricentro del triángulo. Lo que se nos pide es demostrar que los triángulos \(AGM\), \(BGM\), \(BGN\), \(CGN\), \(CGP\) y \(AGP\) tienen la misma superficie. En primer lugar, \(AGM\) y \(BGM\) tiene la misma área por tener la misma base \(AM=MB\) y la misma altura (comparten el otro vértice) luego llamemos a este área \(A_1\). De la misma forma \(BGN\) y \(CGN\) tienen igual área \(A_2\) y \(CGP\) y \(AGP\) tienen igual área \(A_3\). Finalmente, observemos que \(ACM\) y \(BCM\) tiene igual área por tener la misma base y la misma altura sobre ella, de donde \(A_1+2A_2=A_1+2A_3\) y, por tanto, \(A_2=A_3\). Razonando de la misma forma con los otros lados, llegamos a que \(A_1=A_2=A_3\), como queríamos probar.
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Informar de procedencia del problemaProblema 80★★☆☆☆
Determinar qué condición han de cumplir las longitudes de los lados de un triángulo para que la recta que une el baricentro y el incentro sea paralela a uno de los lados, suponiendo que el triángulo no es equilátero (pues en este caso coinciden incentro y baricentro y dicha recta no está bien definida).
Pista. Observar que, para que sea paralela a un lado, las distancias del incentro y el baricentro a ese lado han de ser iguales.
PistaSolución 1Solución. Sea $ABC$ un triángulo y denotemos por $a,b,c$ a sus lados. La recta que une el baricentro $G$ y el incentro $I$ del triángulo es paralela al lado $a$ cuando la distancia de $G$ y la distancia de $I$ al lado $a$ coincidan. La distancia de $I$ a al lado $a$ es $r$, el radio de la circunferencia inscrita, mientras que la distancia de $G$ al lado $a$ es $\frac{1}{3}h_a$, donde $h_a$ es la altura que parte del vértice $A$. Observemos ahora que $r=\frac{2S}{a+b+c}$ y $h_a=\frac{2S}{a}$, donde $S$ es el área del triángulo. Por tanto, la recta $IG$ es paralela al lado $a$ cuando
\[\frac{2S}{a+b+c}=\frac{2S}{a}\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{2S}=\frac{a}{2S}\Leftrightarrow b+c=0.\]
Como esta condición no se cumple en ningún triángulo, deducimos que no hay triángulos en los que la recta $IG$ sea paralela a uno de los lados.
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