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Talks by Joaquín Pérez

El problema de Calabi-Yau embebido para superficies mínimas de género finito

Universidad de Granada

El problema de Calabi-Yau embebido consiste en saber si una superficie mínima completa y embebida en \(\mathbb{R}^3\) ha de ser necesariamente propia. Este problema, abierto actualmente, está resuelto en algunos casos particulares, siendo el resultado más llamativo el de Colding y Minicozzi donde se asume adicionalmente que la superficie tiene topología finita (Annals of Math 2008). Daremos una idea de cómo demostrar una versión más general de este resultado, que sólo asume que la superficie tenga género finito y una cantidad numerable de finales límite. Este es un trabajo conjunto con Bill Meeks y Antonio Ros.

Seminario 1ª planta, IEmath

Stable minimal surfaces in semidirect products

Universidad de Granada

We will study geometric properties of compact stable minimal surfaces with boundary in homogeneous 3-manifolds \(X\) that can be expressed as a semidirect product of \(\mathbb{R}^2\) with \(\mathbb{R}\) endowed with a left invariant metric. For any such compact minimal surface \(M\), we provide an a priori radius estimate which depends only on the maximum distance of points of the boundary \(\partial M\) to a vertical geodesic of \(X\). In particular, there are no complete stable minimal surfaces inside solid metric cylinders around vertical geodesics in \(X\) .​ We also give a generalization of the classical Rado's Theorem to the context of compact minimal surfaces with graphical boundary over a convex horizontal domain in \(X\) , and we study the geometry, existence and uniqueness of this type of Plateau​ problem.​ Joint work with Bill Meeks and Pablo Mira.​

Seminario 1ª planta, IEMath

Laminaciones mínimas en \(\mathbb{R}^3\) y la conjetura de Hoffman-Meeks

Universidad de Granada

La conjetura de Hoffman-Meeks afirma que si M es una superficie mínima con curvatura total finita en ​​\(\mathbb{R}^3\)​ con género \(g\) y \(k\) finales, entonces \(k\leq g+2\). Este problema abierto motiva estudiar los posibles límites de una sucesión de superficies mínimas embebidas \(M_n\subset \mathbb{R}^3\)​ con género fijo y curvatura total finita. Normalmente, los objetos que aparecen en el límite son laminaciones mínimas con singularidades. Mediante el uso de la teoría de Colding-Minicozzi, daremos un resultado de convergencia para una parcial de la sucesión \(M_n\) anterior, si asumimos una cota uniforme del radio de inyectividad de las superficies \(M_n\) fuera de un cerrado numerable de \(\mathbb{R}^3\). Usaremos este resultado de convergencia para obtener una cota (no explícita) \(k\leq C(g)\) del número de finales en la conjetura de Hoffman-Meeks, que sólo depende del género. Esta cota del número de finales produce una cota para el índice de estabilidad de una superficie mínima de curvatura total finita, también en función sólo de su género.​

Seminario 1ª planta, IEMath

Dominios isoperimétricos con gran volumen en $3$-variedades homogéneas

Universidad de Granada

Relacionaremos la geometría de dominios isoperimétricos de volúmenes muy grandes con dos invariantes geométricos asociados a la teoría de superficies en un espacio homogéneo tridimensional: la constante de Cheeger y la curvatura media crítica.

Seminario de Matemáticas, 1ª planta

Superficies mínimas con crecimiento de curvatura cuadrático

Universidad de Granada

Para una superficie en $\mathbb{R}^3$, la función $f=K R^2$ (curvatura de Gauss por distancia al cuadrado extrínseca) es invariante por reescala. Veremos dos resultados sobre cómo esta función controla distintos aspectos de la teoría de superficies mínimas embebidas:
1) Cuándo una singularidad aislada en una superficie mínima es evitable.
2) Caracterización de las superficies completas con curvatura total finita como aquellas que tienen f acotada.
Las herramientas principales para demostrar estos resultados serán la fórmula de monotonía para superficies mínimas y una generalización de la clasificación de superficies completas mínimas estables en $\mathbb{R}^3$ al caso en que sólo se exige completitud fuera de un punto.

Seminario Matemáticas. 1ª planta

CMC spheres in three-dimensional metric Lie groups

Universidad de Granada

A celebrated theorem of Hopf classifies round spheres in $\mathbb{R}^3$ as the unique spheres with constant mean curvature (CMC). Uniqueness of CMC spheres has been extended to other simply-connected homogeneous three-manifolds, provided that the dimension of the isometry group is 6 or 4. We will discuss this problem in the remaining case, when the isometry group of the ambient manifold is three-dimensional. These ambient geometries are always achieved by Lie groups equipped with a left invariant metric.

Superficies con CMC en grupos de Lie métricos tridimensionales (III)

Universidad de Granada

Seminario de Matemáticas. 1ª Planta, sección de Matemáticas.

Superficies con CMC en grupos de Lie métricos tridimensionales (II)

Universidad de Granada

Seminario de Matemáticas (1ª Planta, Sección de Matemáticas)

Superficies con CMC en grupos de Lie métricos tridimensionales (I)

Universidad de Granada

Esta es la primera de dos charlas sobre superficies con CMC en grupos de Lie de dimensión 3 dotados de una métrica invariante a izquierda. Estos espacios ambiente generalizan las geometrías de Thurston (salvo S^2 x R) que vienen siendo estudiadas en los últimos años. Dedicaremos la primera sesión a clasificar estos espacios y a entender sus propiedades más básicas. Las herramientas a desarrollar serán de utilidad para estudiar superficies con CMC en la segunda sesión, en la que prestaremos especial atención a los problemas de Hopf y Alexandrov en dichos ambientes.

Seminario de Matemáticas (1ª Planta, Sección de Matemáticas)

Finales mínimos anulares de curvatura total infinita

Universidad de Granada

Los modelos asintóticos de finales anulares completos, mínimos y embebidos en R^3 con curvatura total finita eran bien conocidos (finales planos y de tipo catenoide). En el caso de curvatura total infinita (CTI), el único modelo asintótico conocido hasta ahora era el del helicoide. Probaremos que este modelo asintótico es sólo uno dentro de una familia 2-paramétrica de posibilidades, que pueden parametrizarse mediante el vector flujo del final anular a lo largo de su borde. Describiremos la geometría de estos nuevos finales mínimos de CTI como multigrafos que generalizan al final de un helicoide, y veremos que cada final anular embebido y mínimo con CTI es asintótico al único modelo con su mismo vector flujo. Como consecuencias de esta clasificación, veremos una simplificación considerable en la demostración original de Meeks-Rosenberg de la unicidad del helicoide, y demostraremos que una superficie mínima completa, embebida, con un sólo final, género finito y CTI es asintótica a un helicoide (demostrado recientemente por Bernstein y Breiner).

Seminario de Matemáticas. 2ª Planta, sección de Matemáticas.

Clasificación de los ejemplos de Riemann, parte II.

Universidad de Granada

Clasificación de los ejemplos de Riemann, parte I.

Universidad de Granada

La ecuación de Korteweg-de Vries y la clasificación de los ejemplos de Riemann

Universidad de Granada

El objetivo es probar el siguiente teorema: Las únicas superficies mínimas propiamente embebidas en R^3 con género cero e infinitos finales son los ejemplos de Riemann. En esta conferencia se mostrará cómo utilizar la teoría de la KdV para integrar de forma holomorfa el campo de Shiffman para todas las superficies inmersas de tipo Riemann (en particular, para las que cumplen las hipótesis del teorema principal).

Superficies mínimas estables con borde una recta

Universidad de Granada

Clasificación de los toros minimales doblemente periódicos con finales paralelos

Universidad de Granada

Parabolicidad y superficies minimales

Universidad de Granada

Comportamiento asintótico de las superficies minimales embebidas de tipo finito

Universidad de Granada

Unicidad de los ejemplos de Riemann (II)

Universidad de Granada

Unicidad de los ejemplos de Riemann (I)

Universidad de Granada

Joaquín Pérez

Universidad de Granada

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19
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