Los espacios de Alexandrov son una generalización de las variedades riemannianas que aparecen de forma natural al considerar la clausura de éstas bajo la distancia de Gromov-Hausdorff. Por esta razón se han convertido en una herramienta imprescindible para entender las consecuencias geométricas de la curvatura. En esta charla daremos una pequeña introducción a sus propiedades, intentando enfatizar sus similitudes y diferencias con variedades. Posteriormente examinaremos el caso de dimensión 3: clasificaremos topológicamente aquellos con curvatura positiva y con curvatura no negativa, y terminaremos presentando ejemplos de cómo, en este contexto, la conjetura de Poincaré falla en 5 de las 8 geometrías de Thurston. Este es trabajo en colaboración con Fernando Galaz-García (Münster).