Presentaremos algunas propiedades globales de superficies completas en los espacio modelo tridimensionales $\mathbb{R}^3$, $\mathbb{H}^3$ y $\mathbb{S}^3$, cuya curvatura de Gauss no cambia de signo. En particular, centraremos nuestra atención en el teorema de N.V. Efimov (1964): “no existen superficies completas en $\mathbb{R}^3$ con curvatura menor o igual que una constante $c<0$", y la conjetura de J. Milnor (1966): "una superficie completa en $\mathbb{R}^3$ sin puntos umbilicales tal que la suma de los cuadrados de las curvaturas principales está lejos de 0 debe cumplir que su función curvatura cambia de signo o la superficie es llana". Probaremos para el caso de curvatura no negativa que la conjetura anterior es cierta y como consecuencia también mostraremos una respuesta parcial a la conjetura para curvatura no positiva. Veremos algunos corolarios de estos resultados en $\mathbb{R}^3$ y una aproximación a un teorema tipo Efimov en $\mathbb{H}^3$ y $\mathbb{S}^3$.

We present a deformation of surfaces from a product space $M_1\times\mathbb{R}$ into another product space $M_2\times\mathbb{R}$ such that the relation of the principal curvatures of the deformed surfaces can be controlled in terms of the curvatures of $M_1$ and $M_2$. Thus, starting from a known example, we obtain subsolutions for the existence or barriers for the non existence of surfaces with fixed mean curvature, extrinsic curvature or Gaussian curvature in $M\times\mathbb{R}$.

Sea M una superficie de Hadamard con curvatura de Gauss acotada por arriba por una constante negativa. Resolvemos el problema de existencia de difeomorfismos armónicos desde el plano complejo en M. Para ello, estudiaremos grafos mínimos sobre dominios convexos no acotados de MxR. Presentaremos un teorema tipo Jenkins-Serrin en MxR y mostraremos la existencia de grafos mínimos enteros con el tipo conforme del plano complejo.