Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que el número es $n=1000a+100b+10c+d$, siendo $a$ la cifra de las unidades de millar, $b$ la de las centenas, $c$ la de las decenas y $d$ la de las unidades. Los números que se obtienen al insertar un cero son los cuatro siguientes: \begin{align*} N_1&=10000a+100b+10c+d\\ N_2&=10000a+1000b+10c+d\\ N_3&=10000a+1000b+100c+d\\ N_4&=10000a+1000b+100c+10d. \end{align*} Como son todo múltiplos de $7$, $N_4-N_3=9d$ también lo es, luego tiene que ser $d=7$ o bien $d=0$. De la misma forma, $N_3-N_2=90c$ es múltiplo de $7$, luego $c=7$ o $c=0$. También $N_2-N_1=900b$ nos da que $b=0$ o $b=7$. Finalmente, $10N_1-N_4=90000a$ nos dice que $a=0$ o $a=7$, pero no puede ser $a=0$ porque entonces el número no sería de cuatro cifras. Nos quedan pues los siguientes posibles valores de $n$: \begin{align*} 7000&&7007&&7070&&7077\\ 7700&&7707&&7770&&7777. \end{align*} Como todos ellos verifican claramente la propiedad del enunciado, deducimos que estas son las únicas soluciones.

Solución. Ser divisible por $45$ es lo mismo que ser divisible simultáneamente por $5$ y por $9$. Por un lado tenemos que \[A(n)\equiv 1+1+1+\ldots+1=n\ (\text{mod }5),\] luego $A(n)$ es múltiplo de $5$ si y solo si $n$ lo es. Por otro lado, \[A(n)\equiv 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2\ (\text{mod }9),\] ya que cada número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$ y donde hemos usado además la fórmula conocida para la suma de los $n$ primeros números naturales. Ahora bien, $\frac{n(n+1)}2$ es múltiplo de $9$ cuando $n$ o $n+1$ sean múltiplos de $9$ (ambos no pueden ser múltiplos de $3$ porque son enteros consecutivos). Buscando el primer múltiplo positivo de $5$ tal que $n$ o $n+1$ sean múltiplos de $9$, llegamos rápidamente a que la respuesta a la pregunta del enunciado es $n=35$.

Solución. Observamos que \begin{align*} 2025=(ab-c)^2+(ac+b)^2&=a^2b^2-2abc+c^2+a^2c^2+2abc+b^2\\ &=a^2b^2+c^2+a^2c^2+b^2=(a^2+1)(b^2+c^2). \end{align*} Esto nos dice que $a^2+1$ y $b^2+c^2$ son divisores (positivos) de $2025$. Los divisores positivos de $2025=3^4\cdot 5^2$ son \[\{1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025\}.\] El factor $a^2+1$ es una unidad más de un cuadrado y los únicos números de la lista anterior que cumplen esta propiedad son $1$ y $5$ (puede comprobarse fácilmente caso por caso). Esto nos dice que $a^2=0$ o bien $a^2=4$. Distingamos casos:

• Si $a=0$, entonces el sistema del enunciado nos da directamente $c=-27$ y $b=36$.
• Si $a=2$, el sistema original se reduce a $2b-c=27$ y $2c+b=36$. Este sistema lineal se resuelve fácilmente y tiene solución única $b=18$ y $c=9$.
• Si $a=-2$, el sistema original se reduce a $-2b-c=27$ y $-2c+b=36$. Este sistema lineal tiene solución única $b=\frac{-18}{5}$ y $c=\frac{-99}{5}$, que no son números enteros, luego no obtenemos soluciones en este caso.

Deducimos que las únicas soluciones son $(a,b,c)=(0,36,-27)$ y $(a,b,c)=(2,18,9)$.

Solución. Podemos pensar en este sistema como un sistema lineal con incógnitas $b$ y $c$ y siendo $a$ un parámetro. El sistema es compatible determinado (tiene solución única) y su solución es \[b=\frac{9 (3 a+4)}{a^2+1},\qquad c\frac{9 (4 a-3)}{a^2+1}.\] Para obtenerla, sólo hay que sumar o restar a una ecuación la otra multiplicada por $a$. Ahora bien, esta solución tiene que ser entera y $a$ también entero. Podemos eliminar la $a$ del numerador observando que \[4b-3c=\frac{9 (12 a+16)}{a^2+1}-\frac{9 (12 a-9)}{a^2+1}=\frac{225}{a^2+1}.\] De aquí tenemos que $a^2+1$ tiene que ser un divisor (positivo) de $225$, es decir, uno de los siguientes números: \[\{1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225\}.\] El factor $a^2+1$ es una unidad más de un cuadrado y los únicos números de la lista anterior que cumplen esta propiedad son $1$ y $5$ (puede comprobarse fácilmente caso por caso). Esto nos dice que $a^2=0$ o bien $a^2=4$. Distingamos casos:

• Si $a=0$, entonces el sistema del enunciado nos da directamente $c=-27$ y $b=36$.
• Si $a=2$, el sistema original se reduce a $2b-c=27$ y $2c+b=36$. Este sistema lineal se resuelve fácilmente y tiene solución única $b=18$ y $c=9$.
• Si $a=-2$, el sistema original se reduce a $-2b-c=27$ y $-2c+b=36$. Este sistema lineal tiene solución única $b=\frac{-18}{5}$ y $c=\frac{-99}{5}$, que no son números enteros, luego no obtenemos soluciones en este caso.

Deducimos que las únicas soluciones son $(a,b,c)=(0,36,-27)$ y $(a,b,c)=(2,18,9)$.