Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos un cuadrado perfecto $m^2$ mayor que $n^2$. Si podemos expresar $m^2=n^2+p$, entonces podemos factorizar $p=m^2-n^2=(m+n)(m-n)$, lo que nos lleva a alguna de las siguientes dos posibilidades: \[\left\{\begin{array}{l}m+n=p\\m-n=1\end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l}m+n=1\\m-n=p\end{array}\right.\] Ambos sistemas tienen solución única y ambas nos dan $m=\frac{1+p}{2}$ (basta sumar las dos ecuaciones en cada caso y dividir por $2$), es decir, $2m-1=p$.

Todo esto nos dice que si tomamos $m\gt n$ tal que $2m-1$ no es primo, entonces $m^2$ no se puede expresar de la forma $n^2+p$. Como hay infinitos números impares que no son primos, llegamos a que la respuesta a la pregunta del enunciado es afirmativa.

Solución. Consideremos un primo $p$ y tomemos los números $a=p^x$ y $b=p^y$ para ciertos exponentes enteros positivos $x$ e $y$. Las condiciones del enunciado se traducen como sigue: \begin{align*} b^2\text{ es múltiplo de }a&\ \Longleftrightarrow\ 2y\geq x,\\ a^3\text{ es múltiplo de }b^2&\ \Longleftrightarrow\ 3x\geq 2y,\\ b^4\text{ es múltiplo de }a^3&\ \Longleftrightarrow\ 4y\geq 3x,\\ a^5\text{ es múltiplo de }b^4&\ \Longleftrightarrow\ 5x\geq 4y,\\ b^6\text{ no es múltiplo de }a^5&\ \Longleftrightarrow\ 6y\lt 5x. \end{align*} La primera y tercera desigualdades nos dicen que $y\geq\frac{1}{2}x$ e $y\geq\frac{3}{4}x$. Podemos quedarnos solamente con $y\geq\frac{3}{4}x$ pues todo número que cumpla esta desigualdad también cumplirá la otra. Análogamente, la segunda, cuarta y quinta desigualdades nos dicen que $y\leq\frac{3}{2}x$, $y\leq\frac{5}{4}x$ e $y\lt\frac{5}{6}x$, de las cuales ahora la más restrictiva es $y\lt\frac{5}{6}x$ y podemos eliminar las otras dos.

Todo esto nos dice que buscamos números $x$ e $y$ tales que $\frac{3}{4}x\leq y\lt\frac{5}{6}x$ o, lo que es lo mismo, $18x\leq 24y\lt 20x$. Hay muchas soluciones a esta desigualdad y solo buscamos una, por ejemplo, $y=3$ y $x=4$. Deducimos que los números $a=p^4$ y $b=p^3$ cumplen la condición del enunciado.

Nota. De hecho, se puede probar que $a=16$ y $b=8$ son los números más pequeños que cumplen el enunciado. ¿Sabrías demostrar por qué?